X. Démonstration d'un lemme

Soient

les solutions des équations

(2j cpi= O, ^2= O,

soit (p. 164 ) soit de pli/ s

^(•^1) Xi, . . . , 37 ,j)

„ '", -1 3t '",-1 ■'il ■*12

Dans ce déterminant la i^'""-' ligne a pour éléments les

arguments d'un polynôme réduit en a,,, a/o, . • ., a,,,; on

aura

(3) A2 -- GriD^ai, a,, ..., a„ ),

G désignant une quantité indépendante de z^ z\ ....

En effet, A changeant de signe quand on échange deux de

ses lignes, A- sera une fonction symétrique des solutions de

(2) : ce sera donc une fonction entière des z\ le second membre

de (3) est aussi une fonction entière des ;;. Or ce second

3o6 cil AI' nui: xi.

membre s'annule dès que les é(|ualloiis (•>.) ont une solulion double, tout comme le premier membre A-, mais le second membre ne s'annule (|ue lors(|ue les ('(iiialions {:>.) ont une solution multiple. Donc l'équation (3) a lieu pour une valeur de G qui est un polynôme entier en z, z', . . . ; si les deux membres de (3) étaient de même degré en z^ z', . . . , G serait alors indépendant des :;.

Soit Ovle nombre des termes de degré v dans un polynôme réduit; le degré de A par rapport aux a, et par suite par rapport aux z, sera -vo.^; or Ov est le coefficient de (■' dans

vôv est le coefficient de f"'^ dans la dérivée de cette expression T, et enfin Svov est la valeur que prend -^ pour / = i : cette valeur est

mi(/??i — i) ni^( m^ — i)

— m-, 1)13 • ■ ■ '«/i -'• "' 1 "'-i • • • "hi-^' ■ • -,

c'est-à-dire

I n /?i ( îi m — n) ;

le degré de A- est donc

II m. ( I.m — n).

Or le degré de IlD est le degré de D multiplié par II m, c'est-à-dire précisément

( S m — n)Um.

A- et nD sont donc de même degré, et l'on a bien

A2= GnD,

G désignant une quantité indépendante des z, c'est-à-dire de poids zéro. c. q. f. d.

XI. — Résolution de quelques problèmes sur les polynômes réduits.

PnonLi;MK I. — Calculer la rialciif (T un polynôme réduit^ connaissant les valeurs qu'il prend quand cp,, cp^, • . -, '^n sont, nuls à la fois.

s LU L'ÉI,l.>n NATION. Soj

Soil F/ la valeur que doit prendre ce polynôme réduit quand on suppose x^ =^ a,,. J'y '-^ 'J-ii. .... .c,i ^= a,-,, ; si l'on appelle

l"o le polvnùnie liii-nir-nic, on aura

Fi ~ So-' n\'^\\-^ Si'^x^^ • ■ •' F2 = .^o- .-riaîi— .•?'î^22 — • ..,

,^0) ."i> • • • étant des coefficients indéterminés. On déduit de là, |)Our Fo» ""C expression qui a A pour dénominateur; par suite, l'o existera et sera bien déterminé quand A sera dififérenl de zéro, c'est-à-dire quand G et II D seront différents de zéro.

Si l'on appelle cp,, 'j^, .... -zi le groupe des fonctions 'j d'un même degré -M,; 'f<4.i, 'f/+2, ••• ? 'fy le groupe des fonctions '^ d'un même degré Mo, ..., et si l'on suppose M, < M2<C M3<! . . . , on pourra former plusieurs polynômes réduits nuls, en même temps que '^,, cp^, . . ., 'j„, si l'un des déterminants obtenus en prenant les coefficients des puissances Ar,'"""*' Afi x^^ x-i, r/ dans 'i( , cp^, . . . , -v,, ou des puissances Mif™** de .z"/^, , .... Xj dans 'fz+i , • . . , 'fy . . . , est nul. Considérons en effet le premier groupe, et posons

( oi^ 0,-:- Aii^Mi- A,2^M,— .. .,

( tf / = ^h — A/i jr M j -^ A,i a" Ml — . . . , 0,, Oj, ... étant des polynômes réduits; si le déterminant 7 rzAiiAoî •-• est nul, il y aura une relation linéaire entre 0, — 'i,, Oo — -^o, • • • lellc que

et (ix Oj ~ a Mi --... + ai^i sera un polynôme réduit équi-

> aient à zéro; or zéro est déjà un |)olynôme équivalent à zéro,

<lonc A doit s'annider si le déterminant en question s'annule.

Si le déterminant > rz A,, Ao^ . . . n'est pas nul, posons

3o8 eu ATI THE XI.

lirons des équations [a) les valeurs de JC*'', x^},\ . . . , par suite de tous les arguments divisibles par ces quantités sous forme

réduite, en les multipliant par x^^ x-. r„, puis par x\^

x^X2^ • • -, xfi, etc., substituons-les tlans les l'ornuiles (b); on voit que, si