V -BnB.o

est nul, on obtiendra encore un polvnùmc réduit équivalent à zéro et non identiquement nul, sinon on aura les équivalents réduits de xJ^^, . . ., et ainsi de suite

Remarque. — Si aucun des déler/m'na/i/s > =ti A,, . . .,

N^iiz B, , . ■• . n'est nul, on pourra, des identités (a),(b), . . , déduire tous les arguments divisibles par .r','" , x^\- , . . . , -^z!" en fonction linéaire des autres à des multiples des diviseurs près, on pourra donc calculer un équivalent réduit à tout argument divisible par l'un des termes xf', j^-^,'- , c'est-à-dire à tout polynôme entier.

Il pourra toutefois arriver que l'on soit arrêté dans les calculs p^arce que d'autres déterminants s'annulent, mais on ne sera jamais arrêté quand 1 ne sera pas nul.

Théorème I. — Si la quantité A est différente de zéro, il n' existera qu'un polynôme réduit prenant \\m valeurs données pour les \lm systèmes de valeurs de x^, x-y, ■ . . qui satisfont aux équations (2).

Théorème II. — L'équivalent réduit d'un polynôme don/lé F est bien déterminé quand le déterminant A est différent de zéro, ce que nous supposerons dorénavant.

En effet, l'équivalent réduit du poljnôme F est égal à F, et par suite donné, pour les systèmes de valeurs àeXi,x.^, . . . qui annulent '^i, 'io, . . . , cp,; ; d'ailleurs on pourra déterminer cet (■rpiivalcnt rc'duit par la méthode des coefficients indéterminés.

Si l'équivalent réduit f d' un polynômeY est bien déterminé en général, il n'en est pas de même des polynômes

SUR l'élimination. Soq

).,. )... . • . • qui rcndeiiL identique la formule

!■■ ■■ ■ À, 'f I — /.2 'il "... — À„ ■:;n—f-

1*0111" s'en convaincre, il sulfit d'observer qu'il exisie une infiniti- de polvnômes a,, a,, . . . satisfaisant à ridenlité

( f ) [X, 'Pi — IJ.2 -5, - . . . -^ [J.,,, 9 ,., = O,

et qu'alors, A,, ),o, ... satisfaisant à ridenlité précédente, >'-i -4- ;-J>-i> >*-j -!- [-'•j- • • • y satisferont aussi.

Pour satisfaire à l'identité (c), il suffit de prendre

jj., = <7/i O , -- a/2 'f2 — • • • -^ «/.-I 'f .-t

•td

e clîoisir

cpiels que soient les indices i et y.

Problè.me II. — Trouver un polynôme réduit qui admette toutes les solutions des équations (2), excepté la solution

Le polynôme

(jue 1 on obtient en remplaçant a,,, a,.!, . . . par jr,, j",, . . . dans A, admet les solutions de (2). excepté a,,, ajo. . . .; le polynômeys, obtenu en remplaçant a,), a^o, • • • par X|, .r^, . . . dans A, admet les solutions de (2). excepté a^,, a^o, . . ., et ainsi de suite.

Voici une autre solution :

Il existe une infinité de systèmes de polynômes P,; tels que l'on ait identiquement pour tous les indices i

= P/l I -Z"! — ^1 ) — P/2(-r2— 2t2~) — • . .-^ ^in{rn— ^n)-

Considérons le pol

vnôme

Pli

Pu .

Pu,

i'iu '

^ ri n

3to cii.vi'iTni: \i.

si nous supposons que a,, aj x„ soit une solulion de

(2), il s'annulera jiour toute autre solution des équations (2), car, en ajoutant toutes les lignes respectivement nmllipliées par .r, — a|. j:'^ — a^, . • • , on loriiic une ligue donl les cléments sont

o^j:i,u%. ... ) — 'il (a,, 1,. ... I, 'J2(.ri, J"2, . . . ) — 'J2(ai, a.., . . .\ ...,

c'est-à-dire nuls. Enfin, pour .ri =: a,, x. = a., . . . , P/y dc-

Vient —-, et par suite le polynôme en question se réduit a

Il n'est donc pas nul si a,, y..,, ... n'est pas une solution multiple de (2), ce que nous supposerons.

Si alors on réduit le polvnoinc V suivant les diviseurs C5,, cso. ..., 'Ji„, on aura la solution du prohlénic proposé, car le polynôme réduit équivalent à V est égal à V pour les valeurs de x,, .r^, . . . égales aux termes d'une solulion des équations (2). On pourra même réduire \ j)ar rapport aux diviseurs '.p,(a/,, a/,, . . .), '.po(a/|, 7./0. . . . )

Remarque. — On pourra prendre

Py2

.r, — a,, Cl, ( a/, , .r.,. .. ., .r„) — cp, ( a/, , a,-.,. . . . , .r„ )

•^ :i "^ill

ce choix est avantageux, le calcul nécessaire pour opérer la réduction portant sur un nombre relativement petit d'arguments.