XII. — Calcul de la résultante de plusieurs équations
Conservons les notations adoptées aux paragraj)lies précédents, changeons seulement le numérotage des formules et
SLR l'élimination. 3i I
proposons-nous crrlimiiuT .r,, Xj, . . . , j'„ entre les éqiialions
thms lesquelles Zi, 0-2, ..., F sont des (onctions de ^i , ^2, ■ . .,
x„, z entières et de degrés ///,, //t., nt,i, p: à cet efl'el,
posons
( « ) «/= ^00... -f- 3t/i ;tu...-- 2^(2 ;ui... — ■ • • ;
/// est un polynôme linéaire et homogène par rapport aux ^, dont les coerfieients sont les arguments d'un polynôme réduit en y.,, , a,^. . • . par rapport à z,, (y.i^ , a/o, ... », '■^■^{y-n ,...),..., en sorte que le déterminant de la substitution (4) qui permet de calculer les a en fonction des ; est précisément celui que nous avons appelé A et que nous sup[»osons différent de zéro. Le discriminant de Q par rapport aux ç est égal au discriminant relalit aux u, à savoir if,-,, multiplié par le carré
A- = I1GD de la substitution ('4 t, c'est-à-dire dri-n- Chano^eons
- ' II b °
de variables et posons
'^-''Xpq... '"'"" ^l-< a/,. a,2, . .. tU( a;,, a,-2. .. . )
Commençons par résoudre les équations (5); à cet eflel, appelons y,- (xi. Xo, • • • , Xn) un polynôme réduit, admettant les solutions de (i), excepté la solution a,, , a/o, ... ; alors, en multipliant les équations (5) par les cocfticients de ce polynôme et les ajoutant, on trouve
(6> /iiXi,jr.2. ...,x„) =
F(aa, ...)D(aa, ...)
iormule oix fi(x,, Xo, . . .) est la représentation symbolique d'un polynôme en Xpç que l'on obtient en remplaçant, dans fi{Xi, Xo, , . . i, x^ x'i . . . par Xp^ . Quant à Jii^n-) ^/2, • •)? '^ ^^^ '^'^l à A, à un facteur indépendant de ^ près.
3l?. CHAPITRE XI.
Si l'on remplace, dans Q, /// par sa valeur llrée de (6 ), on a
(7) Q=2F(aa.a(,.,, ...)-^
en convenant de faire dans le développement du second membre .rfx^. . . i= a^a^. . . = ^pq • Pour calculer le nouveau discriminant de Q par rapport aux Xpç , désignons-le
par o; le discriminant j^^,^ relatif aux u est égal au discriminant 0, multiplié par le carré du déterminant de la substitution donnant les a: en fonction des // [formule (5)]. Ainsi
ou, réductions faites,
. rrr , D nF
0 = nF( a,i, a;2, • • • > ;^5 = -q-'
Le discriminant de Q égalé à zéro sera donc la résultante
cherchée.
La formule (7) peut s'écrire d'une manière un peu plus
commode pour les applications. On peut prendre pour // la
valeur du polynôme suivant, pourvu que l'on convienne de
le réduire,
Pu r>„ ... l'„
fr
'm ^'-211 • ■ ■ P/ Alors //(a/,, a/2, . . .) sera égal à D(a/,, a,o
et 1 on aura
Désignons simplement par // '' '^''"\ ce que devient
fi{X{ , Xi, . . .) quand on y remplace a/, , a/^, ... par a,, 7.-,, . . .,
et par y ( ^' '' " ' ] le résultat obtenu en ])ermutanl dans
/{Xf, x-i, . . .) les lettres X\ et a,, x-i et ao, .... Le polynôme Q, avant d'y supposer
suu l'élimination. 3i3
est un polynôme rc-diiil qni, pour .r, r-r a,,, 5:0= y-M-, •••. tie vient égal à F( ai ,, a,2, . . . i/i ( a, , ao, ... 1; pour ^,2= a^i, .r2 = a2o, . . . , il devient égal à F(x2,, a22, •■■)/i{y-\,y-2j ...)..-. Ces conditions, d'après ce qu'on a vu (p. 3o6), le détcrniinenl conipK'leuienl. Or l'éipiivalcnl réduit de
jouit de la même propriété; ou jieut donc dire (pie Q est égal au [)olyiiôine précédent réduit, dans lecjuel on suppose
cl l'on verrait de même rpie Q est aussi égal à
avec les mêmes restrictions. Pour la commodité des calculs, on fera bien de prendre
l il —
la réduction sera partiellement effectuée à l'avance. Ainsi :
La résultante d'un système, tel que (i), (2), peut être présentée sous la forme d'un disci-iminant de fonctions du second désiré homogènes é^alé à zéro.
XIII. — Nouvelle manière de former la résultante. — Résolution d'un système d équations algébriques.
Théorème. — Si les équations (i), (2) ont une solution
commune a,, a^ y.„, il existera des polynômes ).,,
A2 , . . . , ).,/ , A des degrés u — /» 1 . ;j- — m 2, ... e/? .r ( . .r 0 , Xn
CIIAI'ITIU: XI.
lespeclnement, y- désignant nix -h ni-i + • • • + /»« -l- p — /' tels que Von ait idenliqurnicnt
(lo)
X,;cp„-+- XF = o.
En eiret, si l'on considère les (bnclions o et F mises sous les formes suivantes ((p,-, F sont nuls pour jc, = a, , . . .)
le polynôme
Vu
ii-^-\,n
est de la forme du premier membre de (loj; d'ailleurs 0 se réduit à zéro, car, en ajoutant à la première toutes les lignes après avoir multiplié la seconde par — (x\ — a, j, la suivante par — (^2 — ao ), etc., on obtient à la place de cette première ligne une ligne composée d'éléments nuls en vertu de (m).
En l'éduisant ce polvnùme (-) avec les diviseurs cpi (.r,, . • .), 'jo(x,, . . .), ©«(>,, . . .) et ^f i(a,, a., . . .), cp^^a,, a^, . . .), on obtiendra un nouveau polynôme encore identiquement nul. 11 est clair que l'on aura le môme polynôme identiquement nul ©1 en réduisant le produit
Cela posé, en égalant à zéro les coefficients des arguments x\xi. ... on aura Hm équations (E) du premier degré par rapport aux arguments y.[ a{ . . . , dont la résultante ou dont le déterminant égalé à zéro sera la résultante cherchée ; car le déterminant en question n'est autre chose que le discriminant de la fonction du second degré que nous avons aj)pelée (^ au paragraphe précédent.
SIK I. 'l-LIMI N\ I 1().\. 3lJ
Lcs<''([iiati()iis( l''/)loiil alors coniiailic Icsarj;iinicnls y.', , a( ,... et en parliciillor les éléinenls a,, a^. ..., a,, de la solution comnuine, laquelle, en général, aura ses éléments rationnels par rapport à z.
De là découle la résolulion des é(pialions (T), (2) par rapport à .r,, .r.., ..., .f.,, ::; la rt'-sultante fera connaître les valeurs de rinconnue r, et les érpialions (IC) les valeurs correspondantes des autres inconnues.
A chaque racine finieou infinie de la résultante R =0 dont le premier mend)re 11 est le déterminant des Uni équations (E) qui se réduisent, en vertu de R =^0, à Uni — i distinctes, correspond une solution de (1 ), (v' 1; à moins que les mineurs de R ne soient nuls, auquel cas les éc[uations (K)se réduisent à Uni — 2 distinctes, entre lesquelles on peut éliminer tous les arguments, excepté a, et a'" ; une éijuation du second degré fera ainsi connaître a, et l'on aura en général deux valeurs de a,, et deux, svstèmes de solutions. R = o a alors une racine double, ce dont on s'assure en appelant e un élément R, et l'on a
clz jiÊmà i)e dz '
, >n\ , dR ^ ,,
comme les mineurs — sont nuls, on a — — =0, et 1\ == o a (Je ' dz '
bien une racine double.
Sans ([u'd soit nécessaire de beaucoup insister sur cette discussion, après celle qui a été laite à propos de deux équations, on voit que :
Si la l'ésultante R = o ne se réduit pas à une identité, /c système (1), (u) aura j)Uni solutions finies ou i/ijinies, simples ou multiples parfois indéterminées.
Dans le cas où les |)olyn(jmes'j, , o.^, ... seraient tels (ju'ils ne pussent pas servir à réduire le polynôme F, on modilierait les coeriicients de es,, cso. . . . |)our obtenir la résultante, et, dans la résultante trouvée, on ferait tendre les coefficients altérés vers leurs valeurs primitives.
Examinons iiiaiiitenant le cas intéressant où la résultante
3i6 riiAPiTiiK \i.
est identique, où R est iclcnli(|uemont nul. Dans ce cas, à chaque valeur de z correspond une solution du système (i), (2); ces solutions forment une suite continue (une courbe, si çp, = <), ©2 = o> F = o senties équations de trois surfaces). Mais, s'il existe des valeurs de z annulant tous les mineurs de R, il existera, indépendamment de la solution générale dont il a été question, une solution dite singulière provenant de ce qu'une équation du second degré donne alors les valeurs qu'il faut adjoindre à z pour avoir la solution complète de (i)et (;>.).
11 pourra arriver que les mineurs de R soient identiquement nuls, il y aura en quelque sorte une double solution continue, et si, pour certaines valeurs particulières de z, les mineurs du second ordre de R sont nuls, il y aura encore une solution ' singulière correspondante.
Lorsque trois hjpcrboloïdes ont une génératrice commune, cette génératrice représente la solution générale de leurs équations; les points, où les cubiques gauches qui sont leurs intersections se coupent, constituent une solution singulière.
Lorsque la résultante est identique^ les valeurs de x,, x>, . . . , z qui salis/ont aux équations (i), (0.) et qui ne , constituent pas une solution singulière, satisjont aussi à l'équation
■>(? ?-iJLj=o.
d{Xi. . .., T„, z)
En cfTet, si .r,, x-^, ..., - est une solution, non singulière. Xi + ox,, . . . , z -r-ùz sera encore solution pour des valeurs infiniment petites de ox,, ..., 0;, en sorte que l'on aura (5, + O'^i =0, . . . , et rt'ùy = 0, . . . , ou
-^ o.r,--... 'jZ r. o,
()X< oz
(JZ
()xi Oz
formules qui entraînent l'équation (A).
s LU l'élimination. 317
Il est peut-être bon de rappeler que si les fonctions cp et F ne sont pas distinctes, la ("ornuilc (A) est identique comme la résullante elle-même.
