XIV. — Sur les polynômes multiplicateurs

Les équations (E), dont il a étt'' question au |>arai;ia[)lic précédent et dont le déterminant égalé à zéro Cournil la résultante, s'ohliennent en égalant à zéro les eoeKicieiits des x\,xi^ . . . , dans un polynôme 0 de la forme

A,, )vo, . . ., À,/ di''signant des fonctions entières de jT), J"j, . . . , Xn, ai, a-, . . ., y.n et '^1, 'Jj, . . . , F des fonctions de a,, a^,. . ., a„ ; les premiers mend)res de (E) sont donc de la même forme, mais les ). ne conliennent plus les x; le déterminant des équations (E) (jui s'obtient en comljinanl linéairement les premiers membres de ces équations est lui-même de cette forme. Il résulte de là que :

TuÉouicME. — Etant données des fonctions o,, '^^, . . . ., On, F entières en x^, x». ..., x,,^ il existe toujours des polynômes X,, \, . . . , A,/, ^j t*^^^ ^''^ l<^ somme

soit indépendante de x,, x^. • ■ , Xn, et tels que R :;= o soit la résultante de (i), (2).

Ces polynômes \ portent le nom dcpolj nomes multiplicateurs; leur existence a été signalée par Bézout. D'après la remarque faite (p. Sog), ces polynômes n'ont pas de valeur bien déterminée, et il y a une infinité de systèmes de multiplicateurs capables de fournir la résultante.

Toutefois la valeur réduite de chacun d'eux, par rap|)ort aux fondions '^1, z>2, • • ., F dont il n'est pas le multij)licateur, est bien déterminée, car cp, par exemple est connu et égal à — pour toutes les valeurs qui annulent cp^, cp^, . . . , F.

3l8 en A PITRE XI.

H osl facile do Irouvoi' des [lolviiùtncs )/, , )/„ , .... ).', tels que

lie eonlienne plus ./"i, .r'.^, • • •. ^//. mais eoiilieiiiic ;; coniine alors S s'annule quand (i), ( 2) onl lien à la (ois, S est nul quand 11 l'est; donc S est divisible par K et, si par hasard le degré de S éliùlpUm, S ^= o serait la résullanlede (1 ) et (2).

SI l'on ne prenait pas la précaulion de réduire le polynôme que nous avons appelé 0 avant d en jiicndie le discriminant, on obtiendrait un polvnomc S qui, égalé à zéro, ne donnerait ])as toujours la résultanle, mais le produit de celle résultante par un raclcur étranger.

D'après ce que l'on a vu (p. 313). on peut toujours supposer A, de degré nio -r- fUs-i- - • -^ ni„ ~r p — /i par rapport à .r,, .ro, .... r«; de môme Ao pourra être supposé de degré fn i -r- nii-r- ' • ■ -r- p — " ', mallieurcuscment cette considéralion ne suffit pas j)Our déterminer ces polynômes K'.

XV. — Cas où la résultante a des solutions infinies; estimation de son degré.

La résultante de 71 équations générales des degrés nii, Di,,. . . , m,i est de degré ;», m-, . . . m„, mais ce degré peut s'abaisser et ne peut s'abaisser que si la résultante a des solutions infinies.

En thèse générale, pour estimer a piiori le degré de la résultante d'un système déquations, il suffira de retrancher du produit des degrés de ces-équations le nombre des solutions dans lesquelles la variable non éliminée peut èlre infinie. L'estimation a priori du degré de la résultante dépend donc jusqu'à un certain point de la solution de cette question : Trouver les solutions infinies d'un sjslè/ne d'éfjuations, et, par solutions infinies, nous entendons celles dont un ou plusieurs éléments sont infinis.

Prenons d'abord une seule équation de degré m

(I) o(,ri, Xi, .... .r„)^ o

s i II I. ' f: r. I >i I N V r ion. 3 i 9 rendue homogène, el clicrclions rcnscmijle des valeurs infinies de Xi, Xi, fii-i, <e que nous appellerons le domaine de l'injini. A cet effet, considérons Téqualion

('2) aiXi-^ (iiJ'i- . . .-^ a„x„— o.

Si nous éliminons x,i entre (i) et (2), nous obtiendrons la condition pour qu'il existe une relation linéaire entre Xi, X2, ...fXn-s- ElTcctuons l'élimination, nous trouvons

o .r,,a".,, .. ., Tn-i. ) = o,

maintenant, si nous supposons que «i, a-^, • • -^ f^fn-i tendent vers zéro, l'équation résultante se réduira à

(3) '^( Xi, T., -y/;-!, 01 = O.

Or supposer rt,, <7,, . . ., ««) infiniment petits, c'est supposer .r,, X2, . • . , infiniment grands; le domaine de l'injini, si je puis m'exprimer ainsi, est donc donné par (3), c'està-dire parl'équation proposée dans laquelle on a remplacé J"„ par o, ou dans laquelle on n'a conservé que les termes du degré le plus élevé.

Pour reconnaître si des équations ont des solutions communes infinies, il faudra donc les réduire à leurs termes du degré le plus élevé et chercher si, ainsi réduites, elles ont des solutions communes autres queX( = 0, ;r.2= o, ..., Xn-i =0, c'est-à-dire telles que les rapports X( : x-x'. . . .', Xn-\ soient finis, quelques-uns d'entre eux d'ailleurs pouvant être nuls.

XVI. — Calcul des fonctions symétriques. — Formules de Jacobi.

Soient (i) çp, = o, 0.2=0, ..., o„ = o

n équations algébriques des degrés /;?), /;?2, . . . , m^ par rapport aux variables .r, , x,-, • • . , x„] soient

Sao en API TUE xi.

leurs solutions, et

(2) Xi(xi)-^o. X2(^2) = o \„[.r„^-'^o

les résultantes de ces équations provenant respecli\eniont de l'élimination de x-2, X3, . . . , x„, de JCi, X3, . . . , x„, ... ; soient )./y des multiplicateurs, tels que

Xj, Oi — X12 02 — . . .— Xirt cp„ = Xi,

soient encore

A(xi, 0-2, ...,r„)=^N :/iiX22- •• '^' ';-•.■■

(Jl'Ol, 90 Cpn)

D(Xi, ;r2. .. ., ar„) =

d{Xi, Xi, . .., or,,)'

Théokème I. — A s'annule pour tous les systèmes de valeurs de x^^ x-i, . . ., x,i qui annulent Xj, Xo, ..., X« sans annuler toutes les quantités cp,, Oj «p«-

Théorème II. — On a

(4) D(a/i, a,-2, . . ., a,„)A^a,-,, a,2 a/,/) = X'iV=tn)X2 t^a/.). . • X;,(a,„).

En efTet, si l'on diflérentie (3 , on a

ôTj ' oxj ' axj aXj ( \^sij = k,

et, en faisant x, -- a/,, jr^ ^ Q^/s; • • • ?

()ot , cJ'io .. t)cs„ l o si Q X-,

ce qui démontre le théorème, en vertu de la rèyle de la multiplication des déterminants.

Théoulme 111. — La fonction symétrique F(a,-,, 5t,o a/,, )

SLR I, 'ELIMINATION. 321

est le coefficient de dans le (Ith'eloppement de

X^ Xi . . . X,i

FA

En efTel, dans le développement de . ' , le terme en -

a pour coelTicient > -r, — ? a désisrnant une racine de /"f a ) = o:

il en résulte que, dans le développement de

/(■ri, ^i ^n)

le coefficient de -; sera

•2- j Cc9 ■ . ■ <X' fi

•^ ^ fi Ti/U a/1 g/„ )

Jmd Ji^'" \'i^il)\'( 'J.j-1 I . . . X' ( tkn )

Prenons y ^ FA, F désignant un polvnônie quelconque; le coefficient de dans .. ,. — rr- sera

X^Xi...X„ X,X2...X„

^ "«^ Fi a,,, a,-,, . . .) Ar^a,,, a/2, . . .) j^.^^'" \'(,aii;...X\aA-,tj

ou, en vertu du théorème I,

•^ F( a,i, a,-.,. . . . I A( a/,, a,-», . . .") jii^ X\2/ij... X;,(^a/„;

le signe 7 s'étendant, non plus à toutes les valeurs des a/y, mais aux valeurs simultanées constituant une solution commune aux équations ( i ). Remplaçons le dénominateur de l'expression précédente par sa valeur tirée de (^); elle deviendra l'expression (5). c. q. f. v>.

Si l'on suppose F r^z D'I, on a le théorème suivant :

TuÉouL.ME I\ . — La fonction syinélriquc

est le coefficient de dans le dé^'eloppement de

xTXo . . . x„ •

Théorème V, dit nr, Jacobi. — Si F est un polynôme de degré infcricitr r> > /;/ — /?, degré de D, on a

En effet, cette fonction symétrique est le coefficient de

dans TT^^: r^; or, si l'on appelle ô le degré de F,

le degré de \ij étant Uni — tuj, celui de A sera

2, ( II oi — nij) = n n m — > m,

celui de FA sera Z + nWni^y ni, celui de XiXo . . . X„ sera nX\?n; le coefficient de sera donc zéro, si l'on a

Ti Xi . . . X^

0 — /lUni — 7 m < n U m — n ou si

c'est-à-dire si le degré de F est moindre que celui de D.

Ce résultat a été établi d'abord par Jacobi dans le Journal de Crelle, t. XIV, puis par Cauclij à l'aide du calcul des résidus. Enfin Liouville l'a rencontré incidemment dans ses recherches sur l'élimination (voir son Jom/7?«/, t. VI, i'"'' série.) La démonstration que nous venons d'en donner est au fond celle de Cauchy.