XVII. — Théorème de M. Enrico Betti

M. Betti a fait connaître, dans les Annales de Tortolini pour l'année i858, une formule qui permet de calculer une ibnclion symétrique quelconque des solutions de plusieurs équations. Nous allons d'abord l'exposer j)0ur le cas d'une seule équation.

SUR l'élimination. 323

Soit rrj [t,, t.2 l„ ) le produit des carrés des difTérences

des quanlilt'S /( . ^o /,, ; soit C5(\r) = o une équation ayant

pour racines a,, a^, .... y.„. Considérons l'expression

'^"(7,)■!^(^)... ç(/„)cT(a,, a,, . . . , a„ ) '

abstraction Tailc de sa partie entière, cette expression est éffale à

.m^ ti — 'Xi ra(a,, a,, .. ., a„) cp( ^2) '" et à

ou en lin a

1(^1— a/) {^2— 2ty). ..( ta—-^k) ^{^1, ^2, ■ • ., a//)

Or le numérateur de la quantité placée sous le signe 7 est égal à zéro ou à son dénominateur selon que a,-, ay, . . . , y.k ne sont pas ou sont tous différents; il en résulte que l'expression (^1) a pour [)artie fractionnaire

^^Ux ~ a,-i( ^,— ay )...U„— a^j

le signe^ s'étendant à toutes les valeurs des a qui, dans une même fraction, sont différentes. Or, dans le développement de l'expression (2), les coefficients des arguments t~' rj . . . rj' sont précisément toutes les fonctions symétriques simples des racines a,, a^, ...; donc :

Théorème I. — Toutes les fonctions symétriques simples des racines de '^ ^= o sont les coefficients des divers arguments r/, f"/, . . . dans le développement de V expression (i).

Voici maintenant le théorème de M. Enrico Betti :

Théorème II. — Soient cp,, -^o. . . . des polynômes entiers crt JC \ y «-t- 2 * • • • ? *^ Il ^^

(3) «f I = 0, Cf2=0, tprt=0

des éqiiafwiia algébritjuos admctlaiU les »jl so/r/do/is

X,, Xo, . . ., X„ les résullanles proKcnanl de Véliminalion de toutes les variables, moins Xi, de toutes les variables moins x^, etc. ; \(xi,x-2, . . ., :r„) le déterminant des multiplicateurs qui fournissent les résultantesl^i , X2, . . . , X„ = o, enjin D(\r,, ^2, ..., Xa^ le déterminant fonctionnel de

cp,, ç-i çi„ e^ f)(x,, ^21 • • •' -x^n) Ig produit AD. La

fonction

n*^( ^•|. fg t>»^ "TT t;^( f\s, ^2.0 ■ • •■ ty.x)

développée suiv'ant les puissances et les produits des' quantités t~* , aura pour coefficients les diverses fonctions symétriques simples des solutions des équations ( ?t).

Rappelons qu'en vertu des théorèmes I et II du paragraphe précédent on a

6( a,,, a/2 a,„ 1 — o ou = \\ ( a/i ) \\ ( a/,). . . X'„ ( a,„ 1,

suivant que toutes les valeurs de ? sont différentes ou sont les mêmes ; par suite,

/ = [X .V = Il TT \\ ( tji I X', ( ti=, I. . ■ -|rT 7ÏT( t\!t, ^2.^ t^s )

-I i Xi(//, ) X,( ti=, ). . . 1 i 77T( a,,., a,.,. . . ., a„s) i=i , .^ = 1

ou, en négligeant un polynôme entier,

vj( 7.J,,, a/.., a/.ç)

ou enfin

G=TTV— ' ' — n

A J .À^ //i — x,j /,2— ^lA- A-1- CT( a,,, a,^, . . . , a^s) / = 1 5=1

/>, q, u, V désignant quatre entiers différents, ce qui démontre

SI' Il l'élimination. 32.J

le tlu'orème énoncé. I^c lliéorcnic de M. Bclti ne rend pas pratique le calcul des lonclions syniélrlques et l'on ne trouvera sans doute jamais un nioven de rentire ce calcul pratique, mais il met eu lumière un llx-orrine de M. Scidalli : c'est ([ue toutes les lonclions symétriques entières des solutions des équations (3 ) contiennent seulement en dénominateur les coefncienlsdes premiers termes des résultantes XjjXj, ...,X„. Ainsi la lonction s\mélric]ue

coefficient de -r— dans G, contiendra en dénominateur

'il ' 1 2 ■ • •

le facteur

A|, Ao, . . . désignant les coefficients de x^, cc^, . . . dans les j)olynômes X(, Xo, • • • , X^. On peut toujours faire en sorte que A, = Ao = . . . = A„, en rendant les résultantes entières par rapport aux coefficients. Ainsi la fonction symétrique considén'c devient entière en la multipliant par A-'+^^ • .

La ri'sultante des équations (3) et F = o, mise sous la l'orme nF(a/,, a/o, . . .) = o, deviendra donc entière en la multipliant par une puissance du coefficient de la plus haute |)uissance de la variable non éliminée dans l'une des résultantes X|, Xo, . . . , X„.

XVIII. — Remarque importante sur les solutions communes à plusieurs équations.

Si, dans la formule de Jacobi démontrée au paragraphe XT, on fait F(jCj =^ 1 , j:,, Xo, . . . , on trouve

( rt -f- 1 )( /i -^ a ) . . . ( « — A ) , . ^

'^= FT^sTTA ('>

relations entre les solutions communes aux équations ©, = o,

(' ) Ce nombre est égal au nombre des termes d'un polynôme du degré h il n variables.

320 ciiAPiTui: XI.

cso = o. . . . , C5„ =: o, // étant inférieur d'une unité au degré de

U, dansées relations entreront les v=:^ >

^ I . a . 3 . . . nii

coefficients de cp,, cp^, . . . , o„. Le degré de D est > nu — n ; donc A r= > /;?/ — n — i , donc

(w-+-0(re-H2)...( ^m;— l)

( > /«/ —Il — I j !

En général, pi est plus grand que v, de sorte qu'entre les équations fournies par le théorème de Jacobi on pourra éliminer les coefficients de cp,, cp.,, . . ., cp«, et l'on voit qu'il existera des relations indépendantes des coefficients entre les solutions de es, = o, cpo = o, ... ; donc :

On ne peut pas choisir arbitrairement les solutions d\in système d'équations algébriques à plusieurs inconnues.