XIX. — Propriétés de la résultante
Considérons îi équations à n inconnues des degrés ni i , /?i2, • . . , ni,i., savoir :
I çpi (a^i, .r,, . .., x,i) = o, ) 0,(^:1. X-i, . . ., Xn) = o,
\ cp„(ri. X2, . . ., x„) = o;
soit
la résultante provenant de l'élimination de Xt, ^21 ^^u. t ■ Supposons
^i=^aij,„x\x', ...,
Sun l'élimination. 327
faisons varier les coclTicienls <7/y et (ipq .. de oaij ^ ^^fipq .. et exprimons que dans ces conditions R ne varie pas. On aura
et, si l'on veut que les solutions ne varient pas non plus, on
aura
-r^ — o«,7...-4- -— J — oa,,^... = o ôaij,,, Oa,„j,,,
ou
(3) X\x{.. . Ùa,j,,,-Jr-X'îx'l. . . OUpif... = o.
De (2) et (3) on lire
^R . , , an . „ ^
ou, si l'on veut,
f)R ôK
de même
(ibis) x,ar.^...= —, — ; ?
En éliminant les arguments a:\ xi . . . par division, par exemple, on tire de là une foule d'équations entre les dérivées partielles de la fonction R.
On peut trouver encore d'autres x'elations en observant
T-» 1 < 1 j ' n /n que R est homogène en ««y. , (ipq... • • • et de degré = 'x;
on a ainsi
t'^00... '^<^ij...
de même, en posant ■ — ■= a.
li. R = 6uo... -7 H. . . 6,7...
On peut encore trouver de nouvelles relations en observant que R ne change pas quand on change Xi en a:, -|- 0X1, .r> en x-i -\- ^x-i-, ... : on a donc
rm
Oxi
SaS ciiAiMTiu: xi.
011 bien
en désignant par (f/j -f oa,j\ ce (jui dc\ icnl (f,j quand on a remplacé x, par x^ + ox,.
Ce changement ramène C5, = o à la forme
^ «/y...(^ -H o.ri j'j:,- • •
OU
2 |^( l -t- 1 ) «/+, ,y . . . or 1 -r- «,7. , . J .r ', a-'. . . . , en sorte que
On a donc
7 U — O^v-vi,/...
(j-^-j)bi^ij.
et d'autres équations analogues. Ces équations permettent quelquefois de déterminer les coefficients de la résultante quand on en connaît la partie littérale.
Ces dernières équations sont celles auxquelles satisfont les invariants des fonctions C5), Oo, . . . , z>,i; nous ne larderons pas à constater en effet que la fonction K est un invariant.
On voit comment il faudrait modifier les résultats précédents si les dérivées partielles de R par rapport aux «/y. , Z>/y , étaient toutes nulles, et comment cette circonstance décèlerait la présence d'une solution multiple.
