XX. — Résultants

Théorème I. — La résultante de plusieurs équations algébriques, telles quil n'existe aucune relation entre

siiu l'i'm.iminatio.n. 329

leurs coefficients, est irréiliictihli' jkii- rapport à ces coefficients (').

En efiet, si celte rûsiilhiiile nt-lail pas inéducllhlc, elle sérail de la (ortiie 1» t- Vi) r^ o, P cl (^ désignanl des polynùines entiers par rapport aux coefficienls a, 0, c, . . . des ('■(pialioiis proposées. Or R - o établil, entre les coefficients en question, une relation qui |)erniet de l'egarder l'un d'eux, a, comme fonction des autres; si ion considère les équations P^ o, Q = o, elles sont satisfaites par certains systèmes de

117 ^ ôa da

valeurs de a. o, c, . . . , et, pour ces systèmes, -7 > -^ • - ■ ont

deux valeurs, savoir celles que l'on peut tirer de P =-^ o et celles que l'on peut tirer de Q = o. En diflerentiant K --=^ o, la règle des fonctions implicites donnera

()a OR (JH da OK m Ob db ' Oa Oc Oc ' Oa

l'our (lue ~ , 1 — , ••• soient indéterminés, il laul que —-■< *■ i)b Oc ^ Oa

— 7--- soient nuls, cecjui établit des relations entre les quan- 00 ' i . ^

tilés a, b, c Si donc les équations proposées sont telles

qu'il n'existe pas de relations entre leurs coefficients, la

résultante sera irréductible ( a ailleurs — = o, -rr = o, ...

\ Oa Ob

ne sauraient être des identités, sans quoi R ne dépendrait

|)as des coefficients des équations proposées ) •

Puisque la résultante est Irréductible quand il n'existe pas de relations entre les coefficients «, Z/, c, . . . , on pourra toujours supposer que l'on ait mis cette résultante sous forme entière en la multipliant par un facteur, fonction des coeffi- (•ients de poids nul, tel que cette résultante mise sous forme entière ne soit pas décomposable. Le premier membre sera alors parfaitement déterminé, à un facteur près Indépendant de tous les coefficients.

(') Je crois devoir rappeler qu'une équation Rx = o est iriécluctible pairappttrt à des quantités «, b, c... quand un premier membre n'admet pas lie diviseiu" rationnel en x, a, b,c

33o en API THE XI.

Considérons maintenant n équations homogènes par rapport aux inconnues j",, Xo. • • • , Jr^, savoir : (0 'fi=o, 'fo = o, 9« = o,

et supposons-les des degrés /;?,, m-, /;/„. Si Ton élimine

x-i, ^3 i',i, on trouve une résultante de la lornie entière

R^tY'" = o;

si l'on élimine toutes les inconnues, moins ^o, on obtient

Ro étant, comme R,, entier par rapport aux coefficients de <:>,, «21 . . • et irréductible, etc..

Je dis que l'on peut supposer R, = Ro. En effet, l'équation R, =z G exprime que les équations (i) ont une solution commune dans laquelle ^, n'est pas nul, et R2= o exprime que les mêmes équations ont une solution commune dans laquelle .r^ n'est pas nul. Si l'on suppose qu'il n'existe pas de relations entre les coefficients de ''i, ces équations n'auront pas de solutions pour lesquelles Xy, Xo- ■ • ■ seraient nuls, puisque l'on rejette celles dans lesquelles on aurait soit .r, = o, soit ^2= o; R| et Ro sont donc égaux, à un l'acteur numérique près.

On appellera éliminant ou résultant des fonctions homogènes Ci,, Ço» • • -, ^n le premier membre de l'équation résultante, mis sous forme entière, des équations o, =o, o., ^ o, . . ., On =o, abstraction faite du l'acteur x}'", ou x^'" , ou, etc.

Le résultant est donc bien déterminé, à un facteur près indépendant des coefficients de C2,, o^, ....

Théorè:.me II. — Soient 'j, , Oo, . . . , cp« des fonctions homogènes de Xi^ x-i, . . . , x,i des degrés nii , nio. . . . , m„ ; soient 0,, O2. . . . , h,i des fonctions homogènes r/e r,, Vo- • • • ' )'ii et toutes de degrés. Si l'on fait, dans o, , Oo, . . . ,

^1 = ^lO'i- J2 .r«»,

^2^ 62(7,. 72- •• -, Yn)^

SUR l'élimination. 33 1

ces fonctions deviendront de nouvelles fonctions '},, 'v^, . . .

'1,1 de )',, Vo r,i et, si Von appelle R le résultant de

cp,, Oo 'fw- S celui de 61, -ii, . . ., '}«, /• celui de 0,,

Oj, . . . , 0„, o/? aura