X. — Séries récurrentes

On appelle séries réca/re/if es des séries ordonnées suivant les puissances d'une même variable et telles qu'il existe, à partir d'un certain moment, une même relation linéaire enlre les coefficients des divers termes consécutifs de la série; cette relation, ou plutôt les coefficients de cette relation, forment ce que l'on appelle Yéchelle de relation de la série.

Théorème. — Le développement cV une fraction rationnelle est récurrent.

En effet, supposons le développement effectué suivant les puissances croissantes de la variable; le théorème, s'il est vrai dans ce cas, le sera encore dans le cas où le développement aurait lieu suivant les puissances décroissantes, cai" un développement qui a lieu suivant les puissances décroissantes de la variable x peut être censé avoir lieu suivant les puissances croissantes de la variable -•

Considérons la fraction rationnelle "t^^ — > dans laquelle

TiitoRii: G(^:Nf;u Ai.K df.s sf-Kii:s. 4'

f(x) olF(x) désignonl des polvnùmcs ciilicrs en x; supposons que y{-x) n'ait pas de racines nulles : cela ne nuit en rien

à la îrénéralilé, car '^-^ peul se mettre sous la forme suivante :

E{x) désignant un polvnùinc entier, si F(^) contient .r en liicleur; alors 'f(j") est de degré supérieur à/, (j") et ne contiendra plus jr en lacleur. Soient donc

/(t) — p^ -^piT - . . .^-p^^i.r'.>-\

et

V{x) les/>, les q et les a désignant des constantes. Si x est assez petit, la série (i), d'après ce que l'on a vu. sera convergente et l'un pourra obtenir r/o, ''/) ■ • • • soit par la nu' lliode des cocl- (icients indéterminés, soit par la division, dont les règles ont été précisément établies par la méthode des coefllcienls indéterminés.

Nous emploierons la méthode des coefficients indéterminés et, chassant le dénominateur dans (i), puis remplaçant F(x) clf(x) par leurs expressions, nous aurons

Effectuons le produit indiqué et égalons de part et d'autre les coefficients de x", x, .r-, :c% .... nous aurons

p» = qo(ti)

P\ = q^ax — 7i«o.

Pt =q(>o.i — qitti-- q^a^.