S = R^"- /II

En effet, les solutions de •!/, :r^ o, •!/2= o. .... •},/= o comprennent :

i" Les solutions des équations

il ^ !^ ^ f^'i ,

dans lesquelles a,, 7.0,.., a„ désignent une solution de 'j, = o, Oo=o.. . . lorsque les coeflicients sont liés par la relation R^o; ces solutions sont au nombre de^""'!!/;? et par suite le résultant S contiendra en facteur IV'~',

1" Les solutions de f|| = o, Os = o, . . . , f>„ = o qui entrent

en facteurs dans ces équations aux degrés sni^^ sm^ sm,i ;

le résultant s devra donc s'annuler en même temps que /• et avoir les solutions de /• à un degré de multiplicité égal à /?;, /??o . . . = 11//^.

CoKOLLAiRE L — Lcs résultants de plusieurs formes sont des invariants de ces formes, et, si dans les formes es,, cp2, . . . , cp„, on effectue une substitution linéaire, leur résultant se trouvera multiplié par Y^"^, F désignant le déterminant de la substitution.

Théorème III. — Le résultant de plusieurs formes est un combinant de ces formes.

En elTcl, si l'on pose

( ^1 = Yirfi — Yi2'-p2-^-.. — Yi«?/i.

\ ^i = T2t ?1 — Y22 Ol — ...-r- Y2« 'f «,

le résultant de •l^, -io. . . ., <l„ peut s'obtenir en observant qu'il peut être considéré comme le résultant des formes trans-

332 cil A PI T m: xi.

fonnées des formes linéaires

l 7 1 1 - 1 Y 1 2 ■"'2 • • • 'lin ^11 • (O) ' "21 -I — '{il -2 • • • 72 « -//■

par la siil)stitulion non lin("airc z■^-^^^^, Z2^= '^21 ■-■] le résiillaiil de -i/,, «i/o. . . sera donc, en verUi du ihéorèine II, égal au résultant Y des formes linéaires (a ), élevé à la puissance s — I, degré maximum des formes o et multiplié par le résultant de ces formes ; en d'autres termes, si l'on appelle R le résultant des formes '.p, S celui des formes 'l, T le déterminant do la substitution { a 1. on a