XXI. — Discriminants
On appelle discriminant d'une fonction homogène le résultant de ses dérivées prises par rapport à chacune de ses variables.
On appelle racines singulières d'une forme les systèmes de valeurs des variables qui annulent à la fois la forme et toutes ses dérivées, ou, pour éviter un pléonasme, qui annulent ses dérivées.
Lorsque le discriminant d'une fonction '^ est nul, l'équation '.5^0, f|ui permet de considérer l'une des variables comme Ibnclion des autres, donne pour les dérivées partielles de cette variable des valeurs indéterminées.
Lorsque le discriminant est identiquement nul, il y a toute une suite de valeurs des variables pour lesquelles les dérivées partielles de l'une d'elles sont indéterminées, et vice versa d'ailleurs.
Théorème L — Le discriminant d^ une fonction est un invariant de cette fonction.
SLR l'élimination. 333
En cfTfl, considérons la fonction homogène '^'r,, x-, x«)
(le degré m. Si l'on cireclue la subslilulion
on aura
(,) ) àfi ~ ôFi "' " ^ ' ^;^.; "''■-' '-^ ô^n "^""
donc, en appelant F le di'terniinanl de la substitution, le i-ésultant des seconds membres de (i) sera F^"*""""' multiplié par le discriminant A de 'i. Si ensuite on effectue la substitution sur les dérivées—^ , — ^ , • ■ -, le nouveau résultant relatif
aXi fJT.2
aux r sera égal à Fancien AF"'"'^""' multiplié par F '""'■", de sorte que, D désignant le nouveau discriminant, on aura
J) -— ^p /«-11"— /«-I)"-'__ s^\-in' in — \i"-\
Pour /» = 2, on a D = AF-, ce qui s'accorde avec ce que l'on savait déjà sur les discriminants des fonctions du second degré.
Théorème II. — Lorsque le discriminant dUine Jornie s'annule, les dérivées du discriminant par rapport aux coefficients de la forme sont j>r<)porlionnclles aux dérivées de la forme prises par rapport aux mêmes coefficients.
En effet, soit A le discriniiiuinl dune forme o; faisant varier les coefficients rt, b. ... de cette forme et les variables x,, X2, ... de telle sorte que A ne varie pas, on a
mais on a aussi, en appelant 'i,. 'j;.. 'i„ les dérivées — ^>
do , >. ^ , .
T-^>' • • et en observant que x, -~ oj:, , Xo -~- oxo, • • . doivent
334 cil API THE XI.
vérifier les équations ci, -- o-^, ^= o, o-j-r- 2'i2= o.
-r-^ 0^1 — -T-^ oxo -f- . . . -^ — 7- oa -i — ;^ cb-i-. . . = o, dxi dxz da do
— !-: 0x2 — -r^ 0X9 -J- . . . -1 — ^ oa -i — T.- 00 -- . . . = o. dx, dx', ' da do
Mulliplions la première de ces équations par j::,, la seconde
par ûC2< ... et ajoutons, en observant que, si Ton aj)pellc m le
degré de cp, on a
XiÇi-i- ro'fj-i-. . . = m<^; on trouve
dvi ^ t)o ^ do ^ do „
m ^-^ ox, -T- m -~- ox, -1- . . . -f- /« -^ oa — m —■ 00 -+-... = o dxi dx-i da do
et, si Ton observe que es admet les racines singulières,
do ^ do ^,
— i- oa -T- ^ 06 -t- . . . — o.
da do
Comparant cette formule avec (i ), on a
d\ do dl r)'^
da ' da db ' db
De là un moyen de trouver les racines singulières sans avoir calculé A, pourvu que Ton fasse usage du théorème § XIX.
XXII. — Sur un théorème propre à faciliter dans certains cas le travail de l'élimination.
Théoueme. — Si les cqualions homogènes de degré m
admellent une solution coniniune^ celle solulion salisfera aussi aux équalions
dxi ' dx-i ' '"' dXn~ '
sin l'élimination. 335
où /'on a
Ôl Xi. X-i, . . . , Xn }
Supposons d'abord les degrés des équations ( i i quelconfjucs el respecllvemenl égaux à /?«,, nio, . • ., nin', ou pourra, en vertu du théorème des fonctions homogènes (p. 221 , écrire ces équations ainsi qu'il suit :
les valeurs de a*,, jTo. . . . , qui satisfont à ces équations, satisfont donc aussi à
Maintenant, si /;«, == m2= ■.. = ni,i= m, on déduira de 121 \xi = m I Oi
(hi,
ô'ùi
Xi~
•Tn
nix
Oxi
âXî
OXn
rh.
OXi
ôx..
f)Xa
\Xi = m
et, en général,
\xi ■=■ m
<)xi Oxi J
L (^-r, OXi J
on en lire
Oxi dxi J
()A r <) ôl ô-c, ô\ "I
Xi — — = m I 0, — r- -f -. . . I •
oxj ' Oxj O-^i Oxj ôoi I
L O^i Oxt J
Si i^=j, il faudra ajouter A au premier membre. Si Ion suppose que Ton remplace o^i , ^2, . . . par les solutions de (i), en tout cas que f soit égal à / ou différent dey, on a
<)\ rô-:,x ùl f>i, ^)A
r^j-i, fJA f>i, ^)A -j
ôFj ^djj'^ dxj ^d^'^-'- y
L àJCi Oxi J
336 CHAPITUE XI.
or le second membre de celle équation esl éi;al à /.l'io ou à A, c'esl-ù-dire toujours égal à zéro, donc
Ce ihéorème suppose que la solulion commune ne se rapporte pas aux valeurs nulles de .r,, ^o, . . . , sans quoi il sérail évident; d'ailleurs la démonstration précédente ne s'applique pas à ce cas.
Si le système (i) se réduit à trois é(]uallons de second degré, les équations
et les trois équations
dl ô\ 01
seront du second degré; en éliminant x'-^,XTJ,, .rij, ^, d"^,X( .r;,, X-2-V:\, on aura sous forme de déterminant la résultante des équations proposées.
