XXIV. — Principe de correspondance

Le principe de correspondance, nettement énoncé pour la première fois parChasles, consiste en ce que :

Si sur une droite D on a deux séries de points X , , X.i , . . . , et Y,, Yo, .... tels qu'à chaque point X correspondent n points Y et qu'à chaque point \ correspondent m points\, Le nombre des points X coïncidant avec leurs correspondants Y est m ^ n (pourvu que cette correspondance des points X et Y s'exprime au moyen d'uneéqualion algébrique^

Nous appellerons les points X coïncidant avec leurs correspondants des coïncidences.

La démonstration du principe en question est fort simple. Soient X,, x-y, ... les abscisses des points X,, Xo, ..., L. — Traité d'Analyse, I. 22

comptés sur la dioilc D à j)arlir (11111 poinl (ixc G de celle droile; )| , v-2 , ■ ■ • celles des poinls Y, , Y.j. ... ; l'abscisse a: d'un point cjuelconquc X cl Fabscisse y d'un poinl (juelconque Y seront liées entre elles par une équation

(i) /(jr,y)=o

de degré /« en .r et n en )•; les coïncidences seront données en prenant X ^^j', et par suite leurs abscisses seront racines de l'équation /(7, i) = G. Si l'équation (i) est complète, f(t, t) sera de degré m -h n, ce qui démontre le théorème.

Voici une autre démonstration du même principe donnée par M. Zeulhen.

Soit C un poinl de la droile D où n'ait pas lieu une coïncidence; par ce poinl menons une droile quelconque cl prenons deux points fixes A, B sur celle droile, joignons ces

Fis. ..

points à deux points correspondants X, Y; le lieu des points M de rencontre de AX et BY sera une certaine courbe que nous allons étudier et que nous appellerons la courbe (M).

La courbe (M) rencontre AM en ii poinls, en général situés à distance finie, distincts du point A; mais la courbe (M) a en outre au point A un point d'ordre m, car, le point C étant considéré comme un point Y, ni droites AX correspondront à BC et seront d'ailleurs autant de tangentes à la courbe M.

Ainsi la courbe M est de degré m -\- n, elle a en A un point d'ordre m et en B un point d'ordre /i.

Le principe de correspondance découle de là, car les coïncidences sont les points où le lieu M coupe la droite D.

SUK r/fCMMINA TION. 889

Le principe de correspondance peut être généralisé comme :l suit :

Si par un point passe une série de droites U, V, et qu'à chaque droite U correspondent m droites V, qu'à chaque droite V correspondent n droites V, le nombre des droites U coïncidant avec leurs correspondantes V (ou coïncidences) sera m -f- n.

Chasies a fait une ap[)licatlon du principe de correspondance à la recherche du nombre des intersections de deux courbes situées à distance finie (Comptes rendus de l'ylcadémie des Sciences, i855V

Considérons deux courbes d'ordres m et n : soient C et D ces courbes; prenons deux points fixes A, 13 dans leur plan, mais hors de ces courbes. Par A faisons passer une droite AX,

l-'ig. j.

elle rencontrera C en m points a; joignons B aux points a; les droites ainsi menées au nombre de m couperont D en mn points [3.

Enjoignant A aux points [îi, on aura mn droites AY correspondant à AX ; réciprocpiement, à chaque droite AY correspondent mn droites AX.

Lorsque les courbes C, D ont un point commun (a, j3 ), la droite AaX coïncide avec une droite A\ [i ; mais deux droites AX, AY peuvent coïncider sans cela : c'est ce qui arrivera quand on considérera la sécante -4B, car mn droites coïncidentes sont confondues avec AB; il en résulte que, si AB ne passe pas par des points communs aux deux courbes, ce (jue Ton peut supposer, C et D auront m/i points communs, situés en général à distance finie.