IV. - Applications des théories précédentes
Problème I. — Traîner le parallélépipède rectangle maximum inscriptible dana un ellipsoïde.
Soit
l'équation de l'ellipsoïde; le volume à rendre maximum est, à un facteur constant près, xyz; on posera donc
{1) yz dx — xz dy — xy dz = o;
en différentiant (i), on a
, „ , X dx dy dz
multipliant (3) par )>, ajoutant avec (' i) et égalant à zéro les coefficients de dx^ dj-, dz, on a
Àr
Iz
. 0, zx- -- =.0, xy^
l'élimination
de), d
onne
a'^yz h- xz c- xy X y z
ou bien
c'est-à-dire
abc x~ y ~ z'
ce qui prouve que les côtés sont proportionnels aux axes de L. — Traité d'Analyse, I. 28
354 CHAPITRE xn.
l'ellipsoïde et que les sommets sont situés sur les diagonales du parallélépipède circonscrit à l'ellipsoïde ayant pour côtés les axes.
Reprenons le problème traité plus haut :
Problème II. — T?-oin-er le plus court chemin d'un point A à un point B en rencontrant une droite située dans le même plan que ces points.
Soient/? et q les distances respectives de A et B à la droite, / la distance des deux points comptée parallèlement à la droite, enfin x el y les distances du point où le plus court chemin se brise aux pieds des perpendiculaires abaissées de A et B sur la droite; on a
et la quantité à rendre minima est
Différentions (i)et égalons à zéro la différentielle de la quantité à rendre minima ; nous aurons
X dx y dy
dx — dy = o, — — -! — -p=^~ — = o;
\ X- ^ />2 y/^2 -^ qZ
multiplions la première équation par X, ajoutons avec la
seconde et égalons à zéro les coefficients de dx et dy\ nous
aurons
d'où ). se trouve éliminé. -
Celte méthode, plus élégante que celle que nous avons employée plus haut, conduit aux mêmes conclusions (p. 347).
Problème III. — De tous les polygones isopérimètres d'un même nombre de côtés, quel est le plus grand?
Pour résoudre cette question, désignons par A,, Ao, ..., An les sommets du polygone.
Soient «( = A( A2, «2 = A2A3, . . . , «/= A/A/^i ses côtés successifs.
MAXIJIA ET MI.MMA. 355
Soient /'a = A, A3, r^ = A| A,, . . . ses diagonales issues de A,.
Soient 5., Taire du triangle A, Ao A3, 53 celle de A, A3 A^, .... L'aire à rendre maxima est
[ V — {<^\.~^ osj -i- Tj — 7.a'lal — 2a\rl — 2.a-,rl)
on a d'ailleurs la condition
(2) ai-f- «2-^- ••-'-«« = const.
Pour résoudre la question, il faudra égaler à zéro les diflférentielles de (i) et de (2), ce qui donnera
(i bis )
et
(2 bis) ^ dai= o.
Ajoutons ces équations après avoir multiplié la seconde par ),, et égalons à zéro les coefficients de dii et dai\ nous
aurons
S/ Si — t
rj — aj — rj^i = — 2Cos A, A;+i A,a/r,--H,, Si = l ai Fi+i sin Al A/4.1 A,et, par suite,
= — 4cotA, A,>.i A,, ...;
Si
les formules (3 ) peuvent donc s'écrire
cot Al A,-i-i A,— col Ai A,- 1 A, = o, X — \ai cot A,Ai A,-Hj = o.
356 CIIAPITRK XII.
La première de ces formules montre que le quadrilatère A{ A/.., A,A/+| est inscriptible : le polygone lui-même l'est donc aussi; la seconde montre que l'on a
a,cotA, A] A,-^i — rt/i col .\/j Al A/ = . . .;
si l'on joint le centre du cercle circonscrit aux sommets du polygone, les demi-angles aux centres ainsi formés étant désignés par toj, coo co/, la formule précédente donnera
tangwi tangco2 tangcus '"''
c'est-à-dire que les distances du centre du polygone aux divers côtés seront égales. Il faut pour cela que les côtés du polygone demandé soient égaux; ce polygone est donc régulier.
Problème IV. — De tous les polygones de même aire et d'un même nombre de côtés, trouver celui dont le périmètre est le plus petit.
Les équations de ce problème sont les mêmes que celles du problème précédent; en effet, au lieu de rendre minima l'expression (i), il faudra la supposer constante et rendre minima la somme a, + «2 + ••• + «« î dans l'un et l'autre cas, on devra égaler à zéro les différentielles de ces deux expressions, ce qui fournira dans l'un et l'autre cas les équations (i bis) et (ibis), après quoi on appliquera comme plus haut la méthode des multiplicateurs et l'on sera conduit aux mêmes calculs que dans le problème précédent; on verra donc, comme précédemment, que le polygone cherché doit être régulier.
La démonstration géométrique des résultats auxquels nous venons d'arriver ne présente aucune difficulté : on la trouvera tout au long dans le Traité de Géométrie de Legendre revu par Blanchet et dans celui de MM. Rouché et de Comberousse.
HAXIMA ET MINIMA. 357
