V. — Digression sur la plus courte distance de deux droites

On peut résoudre par la théorie des maxima diverses questions élémentaires, dont la solution a déjà été donnée autrement.

Proposons-nous, par exemple, de trouver la plus courte distance de deux droites. Soient a, b, c les cosinus directeurs de la première, a', b\ c' ceux de la seconde; soient ^Tq, J'o» -^o les coordonnées d'un point fixe de la première, x, y, z les coordonnées d'un autre point variable pris sur cette même droite; soient ^o,Jk'u, ^'q ^^ point fixe de la seconde droite, od , y, z' un point variable de cette droite ; soient p la distance des points x, y^ z et x„, ro, Z(,^ z' celle des points x'^y, z'

et -2^0 7 v'o' <• On aura

x= Xq-^ ap, x' = x'q ^- a' p' ,

y=yo-^bp, y=yo^à'p',

z ^ Zq-t- c p , z = Zq -:- c p .

La quantité à rendre minima est le carré p- de la distance des points x, jk, z et x', y, z', à savoir

pi = (x~x')^-^(y—y)^ — (z — z')^,

OU, en vertu des formules précédentes,

(i) pi = (X-' ap — a'p'y-^(Y^bp — b'p'f--^(Z — cp — c'p'y-,

équation dans laquelle on a posé, pour abréger,

En égalant à zéro les dérivées de p- relatives à p et p', on a

o =(\^ ap — a'p' )a-r-(Y -^ bp — b'p' )b -r-(Z -i-cp — c'p')c ,

' { o=(X-r-ap — a'p')a'-h{Y-^bp b'p')b'-h(Z-i-cp — c'p')c; en observant que a--4-6-+c- est égal à i et que aa'-r66'-h ce'

358 cnAPiTRE XII.

est égal au cosinus de l'angle lo des deux droites, on a

aX -h b\ -i- cZ -h p — p' cos co = o et de même

«'X -H b'Y -t- c'Z -+- pcosto — p' = o.

Ces formules donnent p et p', et par suite (i) donne/)-; mais, pour calculer/?-, il vaut mieux observer que des formules ( 2) on tire

X -i- (7 p — a' p' Y -f- 6 p — b'p' Z -\- cp — c'p' bc' — cb' ca! — ac' ab' — ba!

et l'on peut écrire à la suite

t/ y^X-f-ap — a'p')2 '^^bd — cb')(\-^ ap — o! p')

et aussi

1/ y ( bc' — cb' )2 2( ^^' - ^*' )'

Comme ^ «(6c' — cb' ) eiya'ibc' — cb') sont nuls, les

formules précédentes peuvent s'écrire, en tenant compte

de(i),

X H- a p — a' p' \ -^ b 0 — b' p' Z -^ co -^ c' p'

bc' — cb' ca' — ac' ab' — ba'

\x(bc'—cb')

t/ y( bc' — cb' )2 y ( bc' — cb' )^ d'où l'on peut déduire p et p' et directement

^\{bc-ciï)

i/\{bc'—cb')^ ou bien encore

C a"o — .rl)( èc'— c6') -4- Ivo — yé )(' c«'— ac') -^- (^o — ^'oX ab'—ba') p = ^^ ^

[{bc' — cb'f-^{ac' — ca' Y -^{ab'—ba' )'^\i