VI. — Digression relative aux axes de l'ellipsoïde

Chercher les axes de relHpsoïde

( I ) A arî -r- A>2 .^ y -^ -- 1 ^yz — 2 B' xz — 1 Wxy = H,

c'est calculer les rayons vecteurs p maximum ou minimum de cet ellipsoïde; on posera

(2) x^pa. y^-pb, z = pc,

Si l'on porte les valeurs (2) de x, y, z dans (i), on aura

^^^ ^ ^ Aa^-r-A'b-^— \"c-^—iïibc-: ab'ac — iW ab^

et l'on est conduit à chercher le maximum et le minimum de A a^-^ B62-^ A"c2 — iBbc -- aB'ac ^ iH" ab. En égalant sa différentielle à zéro, on a

(5) daika-^ W b ~r- W c)-^ db( W a — X' b -^ Bc)

la formule (3) différentiée donne

a da -^ b db — c de ^= o:,

en l'ajoutant à (5), après l'avoir multipliée par 5 et en égalant à zéro les coefticients de r/«, db, de, on a

(6) ', B'o^CA' -*)6^Bc = o, ( B'rt B6-^rA'' — s)c = o.

L'élimination de s fera connaître les valeurs de a, b, c pour

lesquelles il y a maximum ou minimum. Mais la quantité —

ou, en vertu de (4 ), Aa--)- A'a- + . . . à rendre maxima peut se déduire des formules (6); il suffit de les ajouter après avoir multiplié la première par a, la deuxième par b, la troi-

36o CHAPITRE xn.

sièmc parc, ce qui donne

— — s = O ou p2= - .

Il résulte de là que les axes sont donnés par la formule bien connue