VII. — Axes de la section plane d'un ellipsoïde
Nous montrerons encore comment la théorie des maxima peut conduire à trouver les axes de la section faite par le plan
(i) Ix ~ )7iy -H nz = O;
dans la surface
(3) A^2^A>2-r- A"x;2-i-2Bjz-^-2B'^5-^2B''.rK = H
ou
Considérons dans la section un rayon vecteur p faisant avec les axes des angles ayant pour cosinus a, b, c; on aura
ou
J{a, b, c) la — rnb -+- ne = o, a2-i-Z>2^ c2 = I.
Si l'on égale d/k zéro pour en avoir le maximum, il viendra
Lui
2 de
( 7 ) - -f^ c?a -r- - -,-'- rf6 4- - — de = o ;
2 da
MAXIMA ET MIMMA. 36 1
mais (5) et (6) donneront
l da -h m f/b -h n de ^ o, ada-r- bdb-i- cdc = o,
et, en appliquant à ces Tormules et à (7) la méthode des multiplicateurs, on obtiendra
2 (Ja
[Art = o.
là/. ,.
-, -r //« -{- IJ.U = 0,
1 ob I àf
1 de
-\- i.n -t- IX c = (1 .
Si Ion multiplie la première par «, la seconde par ^, la troisième par c, et si on les ajoute en observant que /est homogène et du second degré, on aura (p. 221)
ou, en vertu de (4), {^), (6),
n II
--.^ = 0, !. = --,• Les formules (8) deviennent alors
Bc^X
et, en éliminant a, b, c, \ entre ces formules et (5j, on obtient
L'élimination de "k seul fournirait d'ailleurs des équations donnant a, b, c.
On voit que l'équation (9) est du second degré en — ; les
deux valeurs de p que l'on en déduira seront les demi-axes therchés de la section.
Si l'on veut trouver les sections circulaires, il faudra écrire que l'équation (9) à des racines égales. Nous retrouverons cette question plus loin sous une autre forme, et nous verrons un moyen simple d'exprimer la condition en question.
VIII. — Digression sur une propriété des polynômes du second degré.
Soit
> ciijXiXj-,' > diXi-^a
un polynôme du second degré non homogène à n variables ; il sera maximum ou minimum :
1" Si l'on a
ft-it\ ^1 "^ «,;2^2 -T- . . . -1- Cl,ifiX^ — 0„ — O,
c'est-à-dire, en désignant par à le déterminant V ^
T — an «22 • • ■<^/tni
A \ OUni
2° Si la différentielle seconde de ce polynôme reste toujours
positive ou négative, c'est-à-dire si > rt,,\r/:ry est décompo-
sable en une somme de carrés de même signe.
Ainsi un polynôme du second degré n'est pas toujours susceptible d'un maximum ou d'un minimum.
MAXIM A ET MIMMA. 363
Pour trouver le maximum ou le minimum, on peut aussi décomposer le polynôme en carrés après avoir remplacé
\]rt,-;r< par ^ aiXiX et a par ax-^ et en supposant ensuite
j: = I. Si alors on s'est arrangé de telle sorte que le premier carré contienne toutes les variables, le second toutes les variables moins une, etc., et que le dernier soit constant, en égalant chaque carré à zéro, excepté le dernier, ce dernier carré sera le maximum ou le minimum cherché, et les équations écrites fourniront successivement toutes les variables; mais cela suppose toujours que tous les carrés soient de même signe.
Il est intéressant de calculer la valeur du maximum ou du minimum INI quand il existe. A cet eflfet, il faut porter les valeurs 12 ) de X(, jTo. ... dans le polynôme du second degré dont on cherche le maximum ou le minimum; en d'autres termes, il faut éliminer .r,, x-^, . . . , x„ entre (i ) et
.M — ^ OijXiXj - - > UiXi-r-a.
Si l'on rend ces équations homogènes, comme il a été dit, en remplaçant > ciiXi par \ «/x<.r, a par ax^ et M par M^;^, si enfin on pose
^ a,jT,Tj — > a,x,x -^ ax- — M x- =- /,
le calcul se réduira à éliminer x, x,, X2, . . . , x,i entre
•' OXi OXn
Or f= o peut s écrire
xi X, -... -a- 7- =0,
OXi 0X2 OX
ou, en vertu des équations précédentes.
il faut donc éliminer Xi, Xo, x,i et a: entre
ce qui donne
dx ' dxi '
r/| «H (7,2 ... (tu,
a„ a„i ctiri ■ ■ ■ (i/iii
Si donc on appelle D le discriminant > ±««,,«12 on aura
