IX. — Réflexions au sujet des théories précédentes

Tout ce que nous avons dit au sujet de la recherche des maxima et des minima des fonctions suppose que l'on peut leur appliquer la formule de Taylor (réduite à ses premiers termes) pour des valeurs des variables voisines du maximum ou du minimum. Il ne faudra donc pas s'étonner que quelques maxima ou minima échappent à nos théories, et il y aura toujours lieu d'examiner si les valeurs de ^, ^, ^, . . ., qui rendent/(\r, )', z, ...'), ou l'une de ses dérivées premières discontinue, infinie, ou indéterminée, ne rendraient pas en même temps /maximum ou miniiiuim.

Nous allons montrer, par quelques exemples devenus classiques, l'importance de la remarque précédente.

Problème I. — Trouver le niaxiniiun et le minimum du carré de la distance d'un point à un cercle.

Prenons pour axes de coordonnées deux diamètres rectangulaires du cercle et le point donné sur l'axe des x\ soient / son abscisse et I\ le rayon du cercle. La distance

M A \ I M A ET yi 1 N I >! A . 365

d'un poinl (x, y) du cercle au point donné a pour carré ou bien, en remplaçanl j'- par R- — x'-^

La dérivée de celte ([uanlilé élanl — 'j.1, elle ne saurait s'annuler et l'on en conclut, (wec raison, que la fonction /--r-R- — ilx n'a pas de maximum ni de minimum. Mais cette fonction n'est pas identique avec celle dont nous cherchons le maximum. En effet, la distance du point donné à un point du cercle n'existe qu'autant que x est compris entre — R et -r R, de sorte que la fonction à rendre maxima est discontinue : quand x varie de — R à -f- R, elle est égale à R- -^ /- — ilx\ quand x varie en dehors de ces limites, elle n'existe plus. \\ y a donc lieu de se demander si à j:- =: — R et à X = -r- R ne correspondrait pas un maximum ou un minimum.

D'ailleurs, à proprement parler, x ^ — ^R, ^;== — R ne fournissent pas de véritables maxima ou minima, en ce sens que, si l'on fait R--^ /- — ilx ^^ o{x\ on ne peut pas dire '^(R-h/i) — '-^K^) 6st indépendant du signe de h, puisque h ne peut être que négatif. Quoi qu'il en soit, il est commode de considérer cp('.r) comme étant maximum pour j: = R quand ci( R — A) — <p(R) est négatif, quelles que soient les valeurs que l'on a le droit de donner à A, pourvu quelles soient assez petites.

Voici une autre question assez curieuse proposée par M. J. Bertrand et résolue par lui dans le Journal de Liouville (i"^ série, t. VllI, p. i56).

PnoBLÏcME II. — Etant donnés trois points dans un plan, on demande de trouver dans ce plan un point tel que la somme de ses distances aux trois points donnés soit un minimum.

A priori, ce problème admet une ou des solutions. Soient

366 cnAPiTRE XII.

.r,, >',, ^2,^)2, .^3, Va les coordonnées des points donnés, jc,>' celles du point cherché; la quantité à rendre niininia sera

^(Jr—jri)'-^{y—ji)^-r-... ou \^v/,.r — x,)2-r- (^7 — Xi)*-

En égalant ses dérivées partielles à zéro, on a

V\a:-— J-i)2^(j'— Ji)^

Si Ton appelle a,, y.^, as les angles que les distances du point cherché aux points donnés font avec l'axe des jr, on a, au lieu des formules précédentes,

cos ai -+- cos 0L2 -f- cos as = o, sin ai -^ sin 0.^-+- sin as = o.

Eliminons l'angle ag, nous aurons

a -r- 2(cosaiCOsa2-t- sin aj sin 'x-y) = î, OU

2[i -I- cos(ai— aj)] = I, OU

4cos2T2(ai — 0^2^ =1,

ou enfin

cosj(ai — a,) = |.

Cette équation exprime que la moitié de l'angle O que font les distances du point cherché aux points x^y^ et :r2jK2

a pour cosinus 4- Cet angle est par suite égal à ^; on a donc

Il est facile d'en conclure que le point cherché est à l'intersection de trois segments capables de l'angle -^ décrits sur

les côtés du triangle fermé par les trois points donnés. Ces segments se couperont en général car les équations (i) admettent en général, une solution (d'ailleurs, la somme

des angles, tels que O, faisant ensemble 3 -^ ou ir., il existe

M A MM A ET MIMMA. 867

en général un point O, tel que, si on le joint au\ sommets d'un triangle, les droites ainsi menées font entre elles des angles égaux quand deux segments se coupent).

Toutefois, pour que deux des segments en question se coupent, il faut, comme il est facile de le voir géométriquement, que chaque angle du triangle soit inférieur à -^,

de sorte que les méthodes régulières ne font connaître la solution que dans ce cas. Mais, si l'on considère les dérivées (i) et (2) de la quantité à rendre minima, on voit immédiatement qu'elles deviennent indéterminées pour x=Xi et >-=j>^,, ou pour X =: x-i, y ^=^29 ou enfin pour x = Xy, jK = >':i. Je dis qu'elles sont réellement indéterminées; en effet, on a

y/ix — Xi)^-^{y — jx)' L \^ ^1 / J

et, pour j? = jc, , j' = j-, , cette expression est indéterminée,

car le rapport^- — — est arbitraire, x ei y étant tout à fait

indépendants l'un de l'autre.

11 y a alors lieu de se demander si les points donnés ne répondraient pas au minimum cherché, et, comme le problème a évidemment une solution, c'est le sommet correspondant à l'angle obtus du triangle des trois points qui répond à la question. M. J. Bertrand donne d'ailleurs une preuve élémentaire directe de cette assertion. Nous laissons au lecteur le soin de la chercher.

EXERCICES ET NOTES

1. Le plus petit polygone d'un nombre de côtés donnés, circonscrit à un cercle, est régulier.

2. Le plus grand polygone d'un nombre de côtés donnés, inscrit dans un cercle, est régulier.

368 CUAIMIUE XII.

;{. De tous les polygones d'un nK-nio nombre de côtés et de même périmètre, le plus grand est régulier.

■4. Le maximum de x'^y't'zl, si x-{-y~^-z est constant, a lieu quand

lors même que a, p, y ne sont pas entiers.

S. Trouver un point tel que la somme des carrés de ses distances à des plans fixes, ou à des droites fixes, soit minimum. Le point cherché est le centre de gravité des pieds des perpendiculaires abaissées de ce point (cherché) sur les plans ou les droites.

(). Trouver un point tel que le produit de ses distances aux faces d'un tétraèdre soit un minimum (c'est le centre de gravité du tétraèdre ).

7. Trouver un point tel que le produit de ses distances aux arêtes d'un tétraèdre soit un minimum (employer des coordonnées tétraédriquesV

8. Le triangle d'aire maxima, ayant ses sommets sur les côtés d'un triangle donné, a en apparence pour sommets les milieux des côtés de ce triangle.

9. Le tétraèdre de volume maximum, ayant ses sommets sur les faces d'un tétraèdre donné, a en apparence pour sommets les centres de gravité des faces du second tétraèdre. Mais ce ne sont pas là de véritables maxima.

10. Le triangle de périmètre minimum, ayant ses sommets sur les côtés d'un triangle donné, a ses sommets aux pieds des hauteurs de ce triangle.

11. Inscrire un triangle maximum dans l'ellipse ( il y a une infinité de solutions;, ou un tétraèdre maximum dans l'ellipsoïde.