I. — Préliminaires
Si une fonclionyï j;) est mal tlélcrniinée pour x = a, je conviendrai d'appeler /(a) la limite vers laquelle tend/( j^) quand x tend vers a. Pour effectuer cette détermination, on a souvent fait usage d'une formule que nous allons établir et qui peut être utile dans bien des circonstances.
Soientyfj?) etF(.r) deux fonctions d'une variable, auxquelles nous supposons que l'on puisse appliquer le théorème de Taylor. Posons (0 ^ .A--/0^p.
nous en concluons
fi a -t- Il I — P F(a -^ /i) = o ou, par la formule de Taylor,
f{a)— P F (a) — h[ fia)-- PFU a )]'^...
tirant P de cette équation et ayant égard à i), on a
FORMES I.NDfTKR M INfiES. 871
Le (léveloppciiient direct du niiméraleiir cl du dénominaleiir n'aurait pas permis de sujiposer à 0 des valeurs égales dans ces deux termes.
II, — Valeur d'une fonction d'une variable qui se présente sous la forme •
Quand une fonction est de la forme i^; ? son numérateur
et son dénominateur peuvent s'annulera la fois pour :r = a; sa valeur pour x ^= n est la limite vers laquelle elle converge quand x tend vers la valeur a pour laquelle on a à la fois /(a) = o, F(a) = o. Le moyen le plus sûr de trouver cette limite est de remplacer /(jc) et F(x) par des développements en série, développements qui mettent en évidence certains facteurs convergeant vers zéro pour x = «, que l'on peut sujiprimer au numérateur et au dénominateur. On a, par excnqile,
sin-.T-
1 — cosa: T- x'* I x^
donc, pour ^ = o,
,. sin-.r
lim = 2.
On a voulu régulariser ce procédé; mallieureusemcnt la règle, dite de U Ilospital, que nous allons faire connaître, ne saurait être appliquée sans précaution aux expressions de
la forme -> et la précaution à prendre consiste précisément à
vérifier si certains développements sont possibles.
La formule démontrée au paragraphe précédent peut se réduire à
/( a -^ h) fia) — h f\a — 0/< i
Supposons (lue l'on ait J{ci) = o, F(rt) = o; il viendra /(a-^h) /'(g-f-OA)
Si 1 on lait tendre // vers zéro, le premier mcnihrc a la
même limite que ,-- — pour x = «, le second a la même 11-
mile que ;V/ — pour x ^ a\ donc
liin ^7^; — lim Vij- — ;
Vyx) F'(;r)'
par suite, si i^^r^^ — est une quantité connue, bien déterminée,
f(x) on aura la limite de ^ en prenant le rapport des dérivées
f'(x) de ses termes pour x = a: si ~ se présentait lui-même
sous la l'orme -? on lui appliquerait la règle que nous venons
de trouver, et ainsi de suite. Telle est la règle de L'Hospital. Comme on le voit, l'application de cette règle suppose f{x) et F(^) développables par la formule de Taylor. H faudra donc, avant de l'appliquer, examiner si les développements àe f[x) et de F (ic ) en série sont possibles : alors à quoi bon la règle? En second lieu, il arrive souvent que/'(^), /"(x), ..., F'(;r), ¥"i^x), ... sont tous nuls et la règle tombe encore en défaut. Dans ce cas, en ayant recours à d'autres développements que ceux qui sont fournis par la formule de Tajlor, on a souvent la solution rapide de la question. Ainsi, par exemple,
est évidemment égal à y/ 2rt pour x = a, ainsi qu'on peut le voir en mettant x- — a- sous la forme (x-{-a)(x — a); l'application de la règle de L'Hospital donne
1 1 ,. x(x^—a'') 2 ^(^a)2 lim — p = lim j ;
l{x — afï x{x^ — a^)^
FOIOir.S INDÉTERMINÉES. 878
mais le second nieinhre est encore pour^ = n, el l'on comprend qu'il en sera toujours do même indéfinimenl. Considérons encore l'expression
X — a-^cos -
On voit facilemenl que, pour x = o, celle expression a j)0ur limite l'unité, car elle se décompose en
-. — X cos - :
sin^' '<\\\x X
ov -. — ayant pour limite i, et cos- étant toujours coni-
pris entre — i el +i, la limite de notre expression est bien i. La règle de L'Hospilal conduit à chercher la limite de
I — 2.r cos sin -
ou de I — sin - >
QO'àX X
qui est lout à fait arbitraire entre les limites o et i.
Il est assez curieux de voir que, dans certains Cours, on applique la règle de L'Hospilal en faisant ces remarques, et qu'on cherche à donner une nouvelle démonstration de la lègle pour le cas où « = co . A oici cette démonstration :
^(' lini i^ —^ (pour x = co ) = lim — — — ^ pour x ^= o\
ainsi
,. f{x) .. •^(,rj(~^y |)ourr = c» lim -p; - = 11111 ; pourj-^o
ou
lim ,, — ; = lim ■ 7 ; pour a; = 00 .
Appliquons, comme on le fait dans quelques livres classiques, la règle de L'Hospilal à la recherche de la limite
>74 cil API TUE XIII
de -^^^ pour^ = oo , m dcsigiianl un entier >> o; nous avons
lim = lim
en changeant m en m — i, /« — 2, ..., nous trouverons, pour 1)1 entrer,
lim — = lime-^ i .2.3. . ./« — o.
Ce résultat est exact, mais le raisonnement (jui y conduit ne Test pas; en effet, reconstituons, pour notre exemple particulier, la démonstration delà règle: nous serons conduits à clicr-
cher la limite de ■ — pour x ^ o; mais nous ne sommes pas
en droit d'appliquer à cet exemple la formule démontrée
au paragraphe précédent, celte formule supposant elle-même
i que Ton peut appliquer à e ""le théorème de Taylor. On a
au contraire très simplement
ç—x ^tn fui j
- — - est donc 1 inverse de
nui croît indéfiniment avec x: donc la limite de— -est zéro,
et ce fait est prouvé pour les valeurs fractionnaires ou incommensurables de ni.
III. — Vraie valeur des fonctions qui se présentent sous la forme —
Si, pour X = a, f{x) et F(j;) sont infinis, la fraction .. nrcnd la forme ; il est facile de ramener ce cas d'indéter-
FORMES INDÉTERMINÉES. Sj.")
niinallon à celui ([tic nous venons d'examiner, en ccrivanl la
fonclion „ ^ sous la (orme suivante
tt en lui appliquant la règle de L'Hospltal, qui donne lim ~- — , = Inn :
l'on conclut, en supposan (le o,
f(x) (Toù l'on conclut, en supposant lim ■'r— finie et différente
lim -L- = hm ^r,,— • F{x) ¥(x)
Lorsque i^-^-' est nul, on tourne encore la difficulté en cher-
chant la limite de -^^ r^ qui est A; on applique Ja
règle à celte fraction et l'on trouve
f'(x)^kF'(x) V(x)
donc ^ — est bien égal à o comme "^
Nous ne ferons pas d'applications de cette règle, mais nous résoudrons quelques questions dont l'importance sera mise en évidence un peu plus loin.
Théorème I. — La limite de —^poii/- x =: oo . quand fi^ i, est toujours infinie.
En effet, on a
a étant supérieur à i , log a est positif; donc, dans le dévelop-
376 CUAPITUE XIII.
j)ement de a^', les termes croissent indéfiniment el il s'en trouve de supérieurs à x"'^' . Si Ton divise ces termes para:"', on obtient encore un résultat indélininient croissant avec x;donc
la limite de - pour x = 00 est infinie.
Corollaire. — La limite de ,— " — , pour ^ = 00 , est in-
finie, ce dont on se convainc aisément en remplaçant c par e^'.
Théorème II. — La limite de — ^^ , m étant positif, est /lu lie pour ^ = o.
En effet, posant x = e", on a à chercher la limite de
1)0 ur 11= — 00
g~niu '
ou de
u pour « = 00 ;
cette limite est zéro, car celle de - — est infinie, comme on l'a vu. •
