XI. — Théorème d'Eisenstein
Soient ciij des entiers; posons
Xo = «00 -^ «01-^ -i- «02-^" --• • --^ oq<^^^,
et supposons que Tinconnue )■ de réqualion
( I) y" \,n -- j'«-' X,„, -^. . .--jX, X, =. o
soit développable en série de la forme
il) 1- = 6io— 6iix— ^12^- — . . .-f- bu-r' — . . . ;
on aura
; y- = 620— biix — 622-r- -^. . . — biiXi-^. . ., <2) - j^ = 630 — 631-^-^ 632-z'-— ■••-^63,J",-4-...,
d'ailleurs
62/ = ^10^1/ - ^11 61/-1 — . ..— bi,bi„,
\ bu = 61062, — 6,1 62/-, — . . .— 6|, 620, (3)
/ bji= b^^bj^u ... -6j/6y io,
Les valeurs (2) de^,jK". • • • étant portées dans l'équation (i), celle-ei doit être satisfaite identiquement. Ainsi, quel que soit .r,
(«/«o-^^/Hi-^ — • • • •( l>„,o^ b„iiX -^. . . )
-^ (cim-iO-^ <^m~ll^-^ ■ ■ ■ l(^'«-10-^ b„,-iiX-^ . ..)-;-.,,
-^ «00-1- aoix-^. . .= o; on doit donc avoir
(«/;io 6„îj-^ «//j-1 b„iQ)^^. . . - «m = o,
(Cl ml) b,n'^-^ . . . -f- Ct„ii^b,n(i ) -t- . . . -i- «o|J. = f'- ( («wo6m[l-vl — . . .-T-a,„[i6„,i ) - . . .-^ o = o,
/l'i CIlAlMTIli: II.
Fjivciiii (l(^S('f|nntions (3\ A^,serii ronclion de />,«, />,,, ... A,/ cl no conlicndra pas A, -^.i, ^i /^.i, . . . : donc ^a/scra fonction des iiicnics quanlilcs el ne contiendra pas non plus Ai,/4-i ,
Les ;jL équations ('i) pourront donc servir à calculer
/>w f>\-2 />i[j.. Je suppose que ces nombres soient rationnels, ainsi (pu; A,o, que Ton peut calculer directement : c'est la valeur de j' pour x = o.
La première équation (5) fournira ^iii+i 5 le coefficient de celle quantité ne pourra provenir que des termes
(6) f />iO'^ III. [J.>1 ~ - flin-\0^'iii \.\l.+ \ -^ • • • -- ^^lO^I.IJ. * !•
Oi\ en n'écrivant dans Ai,u.+ i' ^^j7u.+ m • • • T"C les termes contenant /j,^,j^f, on a, en vertu de (3),
En poil.int CCS valeurs dans (6), on voit que celte expression sera de la forme
1' désignant un polvnome entier en Z>io ù coefficients entiers et indépendant du nomljre >x. II résulte delà que b^,^l^^ sera de la forme
on aura de même
/désignant une l'onction entière à coefficients entiers. Les seuls facteurs premios qui pourront entrer en dénominateur dans bw où /i\>'J., sont faciles à déterminer. P est un polynôme en A,o du degré m; en multipliant donc par la puissance m"™" du dénominateur de ^,0; on pourra mettre Ai,u.+ j sous la forme
T(bn, />,o, . . ., ^iij. I
TMÈOUIi: (JfiNÉRAI.E UES SÉHIKS. '|5
Il (Jcsigiianl un enlier et F une lonclion eiillère à cocffieienls entiers, ^j ,,,^2 sera de la forme
Ot
Supposons ^,0, 6(3, . . . réduits à leur plus simple expression; les seuls facteurs premiers qui entrent dans le dénominateur de 6|,[A-|-i seront ceux qui entrent dans les dénominateurs de 6|o, 6|:i. . . . (que nous supposerons réduits à leur plus sim{)le expression) et dans R, il en sera de même de b^ 04.0, ^i,a-f-3- On a donc le théorème suivant :
Si Von considère une série
by^-^ hyX -~- b-iT- -^ . . .-T- bnX" -^ . . . .
dans laquelle b^J>^,h„, ... sont des fractions réduites à leur /dus simple expression, elle ne pourra pas être le développement d'une raciney d'une équation algébrique en x et y à coefficients entiers si les dénominateurs de 60, 61, 6„, ... ne contiennent pas un nombre limité de facteurs premiers.
Ce beau théorème mettra en évidence le caractère transcendant d une foule de (unclions.
