XII. — Développements en série de c", sin^- et cos
Cherchons la limite de ( 1 -1- — j ([uand m croît indélîni-
nient en passant par des valeurs entières; la connaissance de celte limite nous sera utile dans un très grand nombre de circonstances. On a
T ni (m — j ) Tni 1 . 2 ni-
m( m — I ) ... I tn — /i -!- r ) x" i.i..'i. . .n m'
OU
4G CM AI' nui: n.
or on sait que, a, ^i, y, . . . étant positifs, et tels que
a + [i + Y + . . . < I , on a
(i a)(i — p)(i-Y) ... < i-(a+[3 + Y + ...); on peut donc écrire
8 désignant un nombre compris entre o et i . Prenons a = — ? ° ^ //(
rj "i. 3
j z= — , V ^ — , , . . . nous aurons ' m ' //i
0,,, étant un nombre compris entre o et i ; la lormulc (i) s'écrira alors
-I I + - OoH-.-.H ^ 0„i-i-...H .
■2 «i L ' 1 . 2 . 3 . . . /i I . -jt . . . /n — 2 J
La suite écrite sur la première ligne tend vers la valeur de la série convergente
quand m augmente indéfiniment. La suite écrite entre crochets il un module inférieur à la valeur de la série convergente
où /■ est le module de x\ d'ailleurs -^ — tend vers zéro. On a
donc
en particulier.
liiu I H = e,
Tiif:()Rii: (;f: NÉ 11 ALI' i)i;s stiiiKs. en appelant c la \aleiir de la série coiivcrycnlc
\ .i.Z. . . Il ' ■ ■ • '
t|iic l'on Irouxc éf;alc' à 2, 7 1 S28 1 8284 K)o4j. . • .
Je dis que ( i -• \ a eneore pour limite e quand m croîl
en passant par des valeurs quelconques. En effet, soient it (i n + I deux entiers comprenant m supposé positif ; on a
On peut écrire celte lormulc ainsi
les membres extrêmes ont pour limite e (piand ni = ce • donc
I 1 H 1 a aussi pom- liniilc e.
Enfin, en appelant /n un nombre négatif, il est facile de
vou-quela limite de ( i -1 1 est encore e quand m croîl
indéfiniment. En effet, posons m = — n, nous aurons
lim
li,u(.-i- ^.li.n -^)
lim ( 1 -) ) = lim ( 1
On a, en supposant x réel,
or rien n'empêche de poser '— = -; a croîtra indéfinimenl a\ec m cl l'on aura
/|8 CIIAPirilK M.
Ainsi on a, cm vcrtude (2),
Supposons niainlenant x imaginaire cl reniplarons-lc par X H-J'v — ' ' ^" aura, en vertu de (2),
(4)lim( I
Calculons le premier membre; chereiionsdabord son module
liiii iiioil I -\ I = mil
= liiii ( I
itnx M- j- -4- y-
ni / in-
■ini.r -^ .r- -!- y- , .«i.
, , . >./nx~>r- J--;- l'on, en desiiinanL -. = — par a,
Cherchons maintenant son ari^ument; l'argument de
.r - y sj— 1
est compris entre son sinus et sa tangente, c'est-à-dire entre
\ \ mj m-
et
l'argument de \ \ compris entre
■jv/-
1 i m l'ois plus grand, sera
et
TIIÉOUIK (JÉ.NÈRAI.E D K S SÉIUKS. 4q
qui lenclcnl Ions deux vers r pour m := oo . On a doiu; liiii(i-T- — — ) = e-^(co.S7-+-y/— I sinj),
c'est-à-diro. eu verlu de (/\),
-ri I • \ x — y<J—\ {-r—ys/ — i)'
en jDartlculicr, si Ton prend x = o,
cosj -^ \J — I sinj' = I -^•- ^— ■ • ■
et, en égalant les parties réelles et les coefficients de \l — i,
Ces formules, toujours convergentes, donnent les développements de cos K et sinj' en série.
XIII. — Généralisation de la fonction exponentielle et des fonctions circulaires.
La fonction définie par la série toujours convergente X T^ .r"
est égale à e-^ quand x est réel; il est tout naturel de la représenter par le symbole e^ quand x est imaginaire : c'est ce que nous ferons; nous aurons alors, en changeant x
en X +J\/— I ,
5o cn.vi'iTiti: ii.
si l'on compare colle formule avec la formule (3) du paragraphe précédent, on \oiL (jue
(2) e^-^y^-^ = e^{cosy -i- \/ — isinj);
de celle formule on peut déduire loutes les propriétés des exponentielles : ainsi, par exemple, on a
(>x+Y\-i ex'-t-y'^'-i = e-^(cosjK -^ /— 1 sinj')e-*^'(cos 7''-!- / — i sin y') e-^-^^' cos{y -i-/' -4- / — I sinjK -i-J>''),
c'est-à-dire, quels que soient z et :;', On aurait de même
m — pinz
Les ibrmules démontrées au paragraphe précédent, pour le cas où X est réel,
(2) cos:r = i ■-. —-——...,
(3) i\nx = X
et qui sont toujours convergentes, peuvent également servir à définir cos.r et sinjc quand x est imaginaire. Multiplions (3) par^/ — I et ajoutons avec (2) : nous aurons
/ . jrj — f ./■"- .r^\^ — r
co%x -\-^-r^ \ sxnx = 1-. h. . . ,
c'est-à-dire, en vertu de ( i ),
co«:r-t-y/ — i sin J- = e-^*-'.
En changeant x en — a:, on a
cosa: — y/ — I sina: = e~^'-^\ d où l'on lire
cos:ï' = , sinx = ^ •
TiiKnini: <;^;.\(^;it Ai.K des séries. 5i
fornuiles in)porlanles et (|ii*il laut iclenir. Ces rormulcs pourraient servir de cléfinilioii aux. fonctions cos.r et sinj7, «|uel que soit x; il est lacile d'en déduire la Ibrmule d'addition des arcs : ainsi
cos(x -i- y }= '■
g—x\—l ^y\—l g— jv— 1
= co«u: cosj' — siii u- ^Iny.
On démontrerait de même les lormules
sin(^ -^y) = sin j; cos^ -i- sin^j' cos.r, sin-j" -- cos-^ = I,
<jui se trou\ent établies même pour les valeurs imaginaires de X et >-.
La fonction a-^', peu usitée, se définira par le iiiONcn de léquation
La fonction tangx se définira par cette autre formule
sin.r tanir^ = ;
cota:, cosécj? se définiront au moyen des relations I ,1,1
COtX = ) COSCC J7 = —. ) SCCX = •
tans-^ sinx cos^
