XIV. — Origine purement analytique des sinus et des cosinus
Comme plus haut, prenons pour définition de la (onction e-^ la formule suivante, vraie pour les valeurs réelles de x,
alors on auri
on en dédiiirail par mulliplicalion
ou
c-r ey = I -f-
OU
Cr-^ Y)"
OU enfin
Zrt fonction c^, définie comme on vient de lé dire, i° e.sY continue en vertu du théorème d'Abel; i" elle jouit de ht jivopriété
( \) e"^ ey = e-'^^y ,
et en général de toutes les propriétés de la fonction exponentielle réelle que Von peut en déduire.
Avec la fonction e-^' on peut former les fonctions composées
Nous connaissons les deux dernières; si elles nous étaient inconnues, on pourrait les appeler sinx et cosx; sinx et cos.r sont ainsi définis d'une façon purement analytique : les deux premières fonctions sont ce que l'on appelle le cosinus cl le sinus lirperbolirjues de x. Nous poserons donc
(3> cosx =
siiiliJ"= y
> ûnx = ; —
TIlf;OUIE t; EN É RALE DES SÉRIES. 53
on en déduit iniinédiatement
cos lu- = cos j:-/ — I, sin 11 J^ = -— = sin.ry' — i,
cos h j' -f- ?in h J" = e-*", COSJ7 -r-\ — I sinjc = e-*'^"', •^' . ^'*
cos h vC = I -: ; r^ — 7 - • • • ,
sin ha~ = j'-:-— 7--^7-^..., 3 1 j I
smx = j- — — — — —
Des fornuilcs (3) on tire, comme on l'a déjà vu.
cos-o^ -T- sin^j; = i, cos(j? -i-j') = cosj:^ cosy — sin j; sinj', sin(x -4-j)' ) = sin j" cosj' -f- sin^ cosx.
Des formules (2) on déduirait de même
cos-h jr* — sin-h^ := i, cosh(jr -^y) = cosh^- cosh^ h- sinh:r sinli j»', sinh(j- -i-j) = sinh j" cosli jj- — sinh>' cosh j",
et ces nouvelles fonctions sont continues par rapport à x.
sinj;" sinlij" , i- • ^ 1 1
et i — sont les tanircnles ordinaires et Inperho-
cos^ coshj" °
liques de x; les inverses du sinus, du cosinus, de la tangente
sont ce que l'on appelle la coséca/ite, la sécante et la cotan-
gente.
La formule
COS a- = 1 T7 — • • • !
lorsque x est réel, peut se mettre sous la forme
(i) COSJ: = I : 7r~-y
;)4 ciiAiMTiir. 11.
0 désignant un nombre iiilV-iiciii- à i puisque, en posanL
COSJ^ = 1 ;
l'erreur est moiiidro crue — " ., • mais eela suppose les termes ' 1 . "2 . j . î ^ *
de la série décroissants à partir de — '- — ^ — ; il suffit pourrcm-
])lir celte condition que .r soit inférieur ou égal à 2; or, pour X = 2, la formule (4) donne
co? .r = I — a -- 0 — »
QO%x est donc négatif pour a? = 2 ; pour x = o, il est positif : donc, entre o et 2, l'équation cosa:'^o a une racine au moins. Soit - la plus petite racine positive de cos.r = 0; on aura
cos- = cos — — = o.
On a ensuite, en vertu de la relation cos-^ + sin-^r = i,
sin — ==ni, sin( i^i^zi:
jnais, de ;r = o à .2: = -7 cosj7 reste positif; sin^, d'abord positif, ne saurait passer par zéro, puisque sin-.r + cos-.r = i , et par suite ne saurait changer de signe : donc
sin —
Il est facile de prouver que sin^ et cos.r ont pour période :^7:, c'est-à-dire que
cos(2- -i- .r) = cos.r, sin(27: -1- a") = sinr. On a en effet
Q.o%{x -î-j)') = ç.o%x cosjj' — sinr sin/;
donc, faisant r =- )
— sin:r ;
Tllf:OUIi: CfiNfMlALE DES SÉUIES.
on aurait d'iiiK* fac^on analogue
sin I 3" -i
donc, en changeant x en x
cos(a?-i- -) = — sin ( a- H 1 = — cos.r,
«in(a- H- t:) = — sin.r ; cliangcanL x en x 4- -, on a
COS(a- -{- 2 7T) = cosa7, sin(a"-t- 27:) = sina".
Le nombre ti reste à calculer; on verra plus loin comment on peut le développer en série.
Nous retrouvons ainsi toute la Trigonométrie, en la généralisant, et nous voyons, ce qui est important, que les fonctions circulaires ont une origine purement analytique qui rend leur théorie indépendante du postulatum d'Euclide et des aitlres posta ferler de la Géométrie.
