XV. — Des logarithmes en général

Toute imaginaire peut être mise sous la forme

/•(cosO -\-\^^ — I sinOj,

;• désignant le module et () l'argument; maiscosO -h \' — i sinf| est égal à e'^^~^ : donc toute imaginaire peut se mettre aussi sous la forme

et même sous la forme

e'"'' e ou e

On voit donc qu'il existe un nombre ii = log/' -h H y— i tel que e" soit un nombre donné, /-(cosO+y — isinOj: ce

.56 ciiAi'iruE II.

nombre it est ce que nous appellerons le logarithme de

/-(cosO -i-/ — I sinO).

Ainsi le logarithme d'une imagiiudre est l'imaginaire (jii' il faut prendre pour exposant de e pour reproduire l im a g in a i/ e do n n ée .

Le logarithme de l'imayinaire ;"(cos0 4-\ — isinO) étant iog/' -h 0 y/ — I , on peut dire que :

Le logarithme d'une imaginaire est égal au logarithme de son module, augmenté de son argument mullijdié par ^/ — i .

Ce logarithme a donc une infinité de valeurs, puisque Targument est lui-même susceptible d'une infinité de valeurs.

Par exemple, le logarithme de la quantité réelle et positive /•, dont l'argument est 2 A-, sera

log/--f- 2 A-/ — », logr désignant le logarithme ordinaire de r.

log I = ik-\/ — I, log — 1 =(-i/i .4- i)-/ — 1 , I o-i/ZT"— 4/^—1 ^^3—

Quel que soit «, on définit a^ par l'équation

il est clair alors que l'on a a^ : ay = a^-y,

On n'a pas éprouvé jusqu'ici le besoin de définir les logarithmes imaginaires dans une autre base que e.

Il va sans dire que Ton a, comme dans le cas où x et >' sont

réels, M.%f

logj- -;- log)- = ^(^?.( ']^-^y),

\i)''x — \o''y = log-,

("cs forimilrs dt-coulanl de

e^ ey = e-^+r.