I' HÉ FACE. IX

lui est due pour le développenienl des fonctions en séries Irigonométriques, fondée sur le calcul des résidus, qui est tout aussi rigoureuse que celle de iJirielilet et (jui entre hicn plus profondément au cœur de la question.

Un Chapitre est consacré à l'interpolation des fonctions numériques; on V trouve une théorie très développée des fonctions eulériennes, le calcul des dérivées à indices quelconques et les éléments du calcul inverse des intégrales définies, le développement en fractions continues et la théorie des fonctions de Legendre, qui sera d'ailleurs reprise à un autre point de vue dans le ^ olume suivant.

Le Volume se termine par l'étude des fonctions algébriques ou, si l'on veut, des courbes algébriques; on y trouvera la théorie des points singuliers, dont j'ai parlé plus haut, et celle de la transformation des courbes planes.

Le IV*' Volume est consacré aux équations diflercntielles ordinaires, il contient deux démonstrations rigoureuses de ce principe : que tout système d'équations différentielles ordinaires admet une intégrale. La discussion approfondie de ces démonstrations conduit, d'après Cauchy, à une théorie complète des solutions singulières. Avant de parler des méthodes connues d'intégration, j'ai pensé qu'il serait bon d'exposer la théorie des fonctions elliptiques et abéliennes, qui interviennent de plus en plus dans la théorie des équations différentielles. La théorie des fonctions elliptiques est exposée d'après les méthodes de Cauchv, celle des fonctions abéliennes en suivant de très près le fameux Mémoire de Ricmann et en faisant usage de son plan multiple, sans toutefois faire intervenir le principe de Dirichlet. Parmi les applications de la théorie des fonctions elliptiques, on voudra bien remarquer une exposition assez simple des propriétés des cubiques planes et des biquadratiques gauches; enfin une belle démonstration du théorème de Poncelet sur les polygones inscrits et circon-