I. — Définition de la dérivée

Quand une ioncùon J\x) est conlinuc, raccioissemenl (jik; prend celle fonciion J'(^x-hh)^f(j') est infininienl petit avec raccroissement corresj)ondant h de sa variable, cl en général, comme nous le \errons, la limite du rapport de ces dcu\ accroissements infininienl petits est fini. On lui donne le nom de ch'rivée de la fonction f{x).

Ainsi la <r/e/-iVee d'une foncllony*(x) est la llniilc du rapport de l'accroissement (jue })rend la fonction à raccroissement correspondant de la variable quand ce dernier tend vers zéro.

La dérivée d'une lonction de x, fi-^)-, 6st en général une autre lonction de x, que l'on désigne pas f'{x). Quand une lonction de x est représentée par une seule lettre i', sa dérivée est représentée par j)'.

Il est difficile, peut-être impossible, de prou\er ([ue toute fonction continue admet une dérivée; quoi qu'il en soit, nous adme'. Irons dans ce qui va suivre que les fonctions sur lesquelles nous raisonnerons ont des dérivées. Nous prouverons d'ailleurs, en montrant comment on peut les calculer, que la plupart des fonctions cjue Ton rencontre en Analvse ont des dérivées. En résumé, s1/"(j:) désigne une l'onction, /"'(x) sa dérivée, on a par définition

f {X) = lini ^ j^ ,

pour It = o.

[.. — Traité d'Analyse, I. 5

CG CM A ri r m: m.

De là oïl ilv'iliiil

z désignant une cjnanlitL' qui lencl \er.s zéro avec //, on (i) ./(-^"^ 11)' f(x) ^ Jif\x)— hi,

lorniule Iréqncninicnl eiii|)lo\éo.

S'il n'est pas prouvé que loiilc lontlion conliinie a une dérivée, il rsl bien clair, au contraire, que toute fonction (|ui admet nnc; dérivée finie est continue : c'est ce que montre la formule ( i) ; on voit en elFet que, si l'on v suppose A infiniment petit, y(j:" -r //) — fi-^) est inliiiliiicnl petit. Ainsi, (piand une fonction a une dérivée finie, à un accroissement infiniment petit quelconque de la variable correspond un accroissement infiniment petit de la fonction, ce qui veut dire que cette fonction est continue.

Le mot dérivée et la notation que nous avons adojitée pour représenter la dérivée sont de Lagrange, mais, au fond, l'idée de dérivée remonte à Leibnllz et à Newton. Nous ferons bientôt connaître la notation de Leibnltz. La notation de Newton n'est [)lus emplovée aujourd Lui ; il représentait la dérivée de r relative à X par V- Caucliv a sou\ent emplo\é la notation Dj-J'.

II. — Dérivée d'une somme, d'une différence, d'un produit, d'un quotient.

DÉUIVÉE n'tAE SOMME ALG LBIllQUE. — SoicHt 1/ . T, (V, . . .

f/es fonctions de x; a, b, c, . . . des consta/iles; si u' , i'', u', . , . tlésignenl les dérivées de a, r, tv, . . . , la dérivée de

y = au — Z>r -7- c^\• -r-. . .

sera

y = au' — b\'' -^ cw' — . . . .

En effet, appelons Ax (A désignant non plus une quantité,

Tllf:()RIE I)i;s IjfMlIVfiES. 67

mais bien les mois accroissrincnl de) un accroissement infinimenl petit donné à x^ et soient Aw, Ar, .... A)' les accroissements que prennent alors «, c, <v. ...,)■; on aura, en changeant, clans régalilé V = au -i- ^c -i- civ, x en x -j- Ax,

j>- - - \y ;- a ( M - - Ah j -r- 6 ( i' - Al' ) - . . :

d'où. j)ar soustraction,

Aj' = or Af/ ^ Ar . . .

et

Av Ah , Al'

or, pour Aj: = o, les limites de 7^ j - > • • • sontpar dclinition

les dérivées 1'', ii\ c' On a donc, en passant aux limites.

y ^ au' - - b\- CKv .... c. y. F. D.

Corollaire I. — La dérivée d'une somme u -r- c -r- iv -i- . . . est la somme u -r r'-t-(v' — . . . des dérivées de ses parties.

Corollaire //. L/( dérivée d'une différence u — i-

est la différence u' — v' des dérivées de ses termes.

Le raisonnement fait ])lus haut supposele nombre des ("oik--

lions u, V, iV. . . . limité, car on s'est appuxé sur ce que la

lunile de la somme a u ... était ej^ale a la somme

des limites de ses parties, ce qui n'est vrai que si le nombre

des parties est limité ; on a erra (pie :

La dérivée d' une série ne s'obtient pas toujours en prenant la dérivée fie chaque terme.

Déi'.ivék d'v^ puoDi it. — Con-)idt'rons un produit

y -^ artr. . .

de pUisieurs fonctions u, v, ... avantpour dérivées//', v' ., w' ,

Si l'on change j~ en x — Ax, //, v. .... y prendront des accroissements A//. Ar A) et se changeront en u-^^u,

(),! ^ç et l'on aura

y \y {u \u){v Af). ...

Ar

. . - — uw ~ . .

Ijr

68 ciiAi'iiin: m.

et, par soustraction,

A^- = (u - A»)(r -;- At'}. . . — iniv. . . on. en dcveloppaiil,

A)- = Ai/ru- . . . Acf/c ... Ih

Q désignant des termes contenant au nionis deux des (acteurs A//. Al" On en tire

Ar

A// Ar . 1 • ■ . 1 I • • ' ' ' 1

or ^ — 7 — 5 • • • uni pour liniiles les ucn\ees (/ . i' dmic

A.r Aj^- '

— lenti vers zéro a\ec A.r et I on a. en passant au\ limites, A.r '

j' = li fit' - . . . l' f/ti' ... ....

En divisant par r = in'^v . . . , on a v' u' t-' tr'

)' Il V w

tbrmule plus facdc à retenir.

Ladi'mvedunproduilc^l, coimnc l'un r<ut, Id .soinnic des dérivées de chaque favleitr mu Ui plié pur le produiL des autres.

La démonstration suppose, bien entendu, les ("acteurs du produit en nonilire (ini.

Application. — La dérivée de «"', m désignant un entier,

seia la somme de m produits, tels que u'.u"'~^ ou niu' u"'~* .

La dérivée de x est i. car sa dérivée est, en appelant A un

accroissement doniK' à //. Iiiii j ou i : il en résulte <pie la

dérivée de x"' est mx"^~^ .

Ladérivée dune constanleestzéro, carl'accroissementd'une constante est nul; son accroissement divisé par A est encore nul. et la limite de ce quotient est, par suite, zéro; il résulte de là (pie. a désignant une constante et // une (onction, la

T II fin m K DES DÉ:! I \ f-F.S. 69

tlrrlvéc de au csl an\ ce qui s'accorde avec ce que l'im ;i vu jtliis liant.

Dnitivr.E i>'u>' oiOTiK.NT. — Soil ^ = - le riiiotif-nl de deti\ loiiclions //. e qui oui des dérivées //. e' ; soil A./- un aeeroisscnient donné à la variable x, et Af. A//, A\' les accroissciiiriil> eoi icspondaiils de )', //, e; on aura

Ar / u - - A// // \ (• lu - » Ar - — ^= 1 1 : A./' >

A.r \ r At- i- / A^ri v Ar )i'

r • . . I t ' A)' Am Av , , ,

en laisanl tendre A./- vers zéro, -^1 — > — lendeiil \ers f , u ,

\x Ix Aj"

e', et la formule précédente devient

eu' — «i''

ainsi -— - csl la dérivée de -

Application. - La dérivée de - est -? celle de —

est 2^^ = — mx '" ' ; donc : la dérivée de x'" pour m

entier et négatif est m x"' ' .