IV. — Dérivées de quelques fonctions simples

Dérivée de log\r. — La dérivée de log.r est la limite vers laquelle tend, ponr/;= o,

\os^iX' h) — \o2,x I , / /' \ , / h\

hV'

lo-

r la limite de ( i - ) este : donc la dérivée cherchée est

-j este

log e' ou

Corollaire. — La dérivée de logw, u étant ("onction de .r, sera, d'après le théorème çles fonctions de fonctions démontré

au paragraphe précédent, — ; celte quantité s'appelle la déri-

vée logarithmique de u.

Dérivée de a-^. — Posons

nous aurons

""^ " log a

X a une dérivée par rapport à )'; en d'autres termes.

ly

TiifioniK DES ni^nivfins, yi

.1 une limilf : donc ^- a une liiniLc aussi et y a une Jciivcc.

Xf

En prenant alors les clérlv<'es des deux iiicuihres de Téqualion précédente, on a

y in lia

y : )■ loi; a —- «■'■ Ing rt.

Corollaire. — En prenant a = e, on a y' =^ e^ : ainsi la dérivée de e-^ est e^, celle de a'^ est c"«'.

DéiiiNKE DR x'". — Su[)posons ./• positil" (./■'" n'aurait dail- Icui's aucun sens si m était imouiincnsurahle çX x négatif); on a

et, par suite, la déii\ée de x'" est celle de c'"-^''^-^' ou t^'" ''«"' — (ui /nx'" *, comme on la \u, dans le cas où /n est entier. Si X est négatif, on fera .r = — x' ] alors

La dérivée de x"' est celle de (' — i )'" x'"' ou

(— i)'« /njr''"-' I -I) ou ni( — , y«-i j.-'/"-i ou mr"'-K

Corollaire. — La dérivée de //'" est /)///"'~*u\ celle de

'II— ' I —1 II I / — ! i , -- II'

v « :^= a'" est — a'" ? celle de v'u := ^/- est au - ou — ,-.