n — I ) Maintenant considérons la fonction de c

Jy\)—J(Z) -~/'iZ)

/""i(^( — l'i \—zy,

dans la(|uelle P dcsif^ne toujours la l'onction de x et /t ou de w et X dt'linie par léqualion (2); cette l'onction de ; s'annule pour :; = X; é\ideninicnt elle s'annule aussi, en vertu de (2), pour:; ::^x. Comme elle a une dérivée, puisquey*" '(;) a une dérivée, par li\ pothèse, quand z varie de ^ à x -j- A 1= X, cette dérivée s'annulera pour une valeur de z comprise entre X cl x-rfi\ or cette dérivée est, comme il est facile de s'en assurer,

/"i z) — Pi(\ — z)'-K

En désignant par x-\-h/i, 0 étant compris entre o et 1 , la valeur de r pour laquelle celte dérivée s'annule, on aura

CM remarquant «jue \ ^= x -\- /i ; on tire de là (1-0 )"-'k"'f"(r -^ Oh )

et, en [)ortant cette \aleur de P dans la lornnile (i ), on a finalement

- r, f'Ux-T-OU).

-s nnvpirnK m.

Celle formule a été (Irnumlrt'e pour la pi'cmière fois sous celle forme ])ar iNIM. SchliMuilcli el Roclie. Le dcruier lermc esl ce (lue l'on a|i|)cll(' le reste ; si 1 On lail i -^ i e! i -^ //.ou a les deux formules sul\aules, donl la première est due à Cauchv; la seconde, qui esl la plus ulile, esl duc à Lagrange :

ft.r'-h) — f(.r)hf'{.r) ... /'"'(.r)

VIIî. Quelques théorèmes déduits de la formule de Taylor

La formule de Tavlor, comme nous le verrons, esl fondanienlale en Analyse; nous allons d'abord en déduire le lliéorème de Ilolle. Si l'on fait, dans celte formule,

fi-T-r-h) = f(.r) - fif'(.r)^:.- —f\.r)^- . . . '''- /"(./■--O/n.

•' / .' ^ . 1 .'^"^ i .'lS. . .ri-

Zt =z i ^ elle <l('\ icnl

Sous celle forme, elle esl frécpieminenl employée; elle iiioiilre bien cpic, si/(.r + A) el f(.-ï') sont nuls, /"'(x + OA) est nul; donc, quand une fonction s'annule pour deux yalcurs de sa variable, en restant continue dans rinlervalle compris, sa dérivée s'annule puin- la yaleia- intermédiaire x -+- OA.

Mais celle remarque ne constitue évidemment j)as une démonstration du lliéorème de Rolle ou plulolde M. (). Bonnet, sur lequel nous nous sommes appuvé pour établir le lliéorème de Taylor : elle a pour biil seulemenl de montrer CHIC la formule (i) est l'expression même, sous une lormc condensée, du théorème de M. O. Bonnet.

TU KO un: i)i;s i»f:iii vfiKS. -()

THKOiikMn. — Si une function couliiuic reste ennsldiile cuire les liiniles .r,, el X de sa varinhle. sa dérivée est mille ; réeiprixjuenieni , si lu <léri\'ée (ruiie loiielioii reste nulle cuire les li mites .i\^et \, eettefniietioii reste emista ii te da ns V intervalle en (jiieslion.

Si, cil cllcl, mic (oiiclion esl consliinlc, .sa (k'ii\('c, comiiie l'on sait, esl mille ; il rcslc à (Icmoiitrcr la rr(i|>r()(|ii('. Soifiil donc X cl ./• - Il lieux \aleiirs eompriscs enlic .r„ cl \; on

aura

J\ x - h) -^ -- /( ./• ) -^ - hf\ X- 0 h ') .

Or, /'{x) clanl mil ([iiaïul .r varie tic .r^ à X, /'(.?■ J- OA) sera nul, car a'-]~^h esl compris entre j: cl .?■ + A et, par sui-le, enlre ^o et X. On aura donc

La lonmile Iroiiv/'e a\aiil lieu, (juels que soieni ./• el //, pourvu cpie x cl .r -t- // soicnl compris entre J'o et -\ , '' ';>>'' en conclure cpie /(.f-), dans cet intervalle, rcslc coiislanl.

On déduit de là cet autre lliéorcme, li'cs important :

Théoiîème. — Deux fo/iclio/is z>(.r), 'ii{x), ayant même dérivée et reslantconlinues, ne peiivenl{tant qu'elles resteni continues) dijférer V une de l'autre que par une constante.

En clTel, si 1 on a

^\x) 'y(jr)-. o,

la fonclion '■p(./") — '}('^0' 'J<"'f ''' dériNcc est '■^'(.r) - ^' [x) ou zéro, esl constanle : ainsi

^{X ) — '^{■i') — COIlSt.

ou

ç(x) --^ <t'(-7") -^- COIlSt .,

cl il résulte de là que, si Ton connaît une solution '-i(.^) de l'équalion

loulcs les autres seront de la forme

y = '^{-r } ; coii-l.

8o riiAiMTin: m.

TjiÉouivME. — L ne fonction est croissn/ile ou décroissitnte pour une valeur jr de sa variable, suivant que pour celte valeur sa dé/ii'ée est j/osi fisc ou né^iitise.

En cirot, la fonmilc

m o 1 1 Irc c| Il e 1 c s i •; n c cl e /"(./• ~r It ) ~ ,/ ( .r ") e s l c c 1 u i cl c /"' Çr -^hli) quand A csl posilif"; si donc on ohscrve ([u'une ("onclion /"(a*) est croissanle cjtiand, pour des \aleurs de h snlfisammcnt pclilcs, on a

/{•^-ii)—A^)>o,

celle inéi;aliu' conlinuant à ètie salislalle pour des valeurs de /i moindres, on voit que/(x) sera croissant si /'{.r -+- OA) est j)osilif; mais /''{ .r + Hh) est peu différent de/'(x); donc, si/'(x) est positil", il en sera de nirrnc de /'(./• -h 0 A), et J\.r) sei'a croissant.

On verrait de même que f{x) est décroissant pour les valeurs de x qui rendent /'(.r) négatif.

La di'monslralion ])rrcédenlc suj)pose y''(.r) continu, mais elle démontre que, dans ce cas, si /'(j:') == o, la l'onction est croissante ou décroissante suivant quey'(c -\- x), t étant très petit (î= OA), est posiliCou négatil".

Le théorème précédent est encore vrai quand /'(.r) est discontinu, mais on ne peut plus allirmer que, s\/'(x) = o, /(x) sera croissant ou décroissant suivant que/'(.r + s) sera positif ou négatif. A oici comment on peut élahlir le théorème C|uand /'(x) est discontinu : on.a

£ étant un infiniment petit; cela résulte de la définition même de la dérivée. Si/'(^) n'est pas nul, on peut prendre £ assez petit pour cpie y'(j) -t- î soit de même signe <jue A {•'^)i ^^ alors on voit que/(x + //) — y\j:-) a le signe de /'(j") pour des valeurs positives de h : ce qui démontre le théorème.

THÉORIE DES DÉIUVÉES. 8 1