IX. — Dérivée d'une fonction composée

Si II, r, «', . . . sont des fonctions de x, toule fonction telle que f{u, i', «v, •. .) est dite une fonction composée de X. Clicrchons la dérivée d'une pareille fonction.

Donnons à x raccroissement Aj", supposons que ii, v, w aient des dérivées; ces fonctions prendront des accroissements \u. Ar, A<T et la dérivée de /sera la limite de

A/ fin lu, (' -Ac, w -^ \w) — f{u,i\w)

Or on peut écrire celte formule

-^ = — [/( u — \it, V -\- Al', w -'- A(f ) — /( u, i> -1- Ar, ii' -4- A(P ) |

( I ) ■' — T— r A ", *' + At», (v -;- Alt' ) — /Y u, r, it^ -f- Aii' ) 1 A,/' • ■ ' '

Comme /(-ï^) désigne une fonction possédant une dérivée, on a (p. 78)

ou

Si l'on suppose h = A.r, on aura

f(x + Aj7) —/(a-) = Ajr/'(.r -^ OA,r\

0 désignant un nombre compris entre o et i. Remplaçons dans cette formule x par u el f(x) par /(u, r + Ar, (V'-f-A(v); nous aurons

f{u -f- \u, r -+- Ai>, IV — Air) — ./'(«/, i' -i- Al', w -1- Ait-) = lu/'u (« -i- f)A?/, v -+- Al', tt- -f- Amp'),

pourvu que, laissant t>el w constants, /( m, r, (v) ail une dérivée/'„ relative à u. On aurait de même, en appelant 8' et h" L. — Traité d'Analyse, I. 6