Î cil Al' 11 m

des nombres compris ciitre o et i,

/( u, V -r Al-. \v - Atv ) - - /( u. w (V - Atr ) A4-/;.( u, r O'Ai-, \v An), /(», r. U' Air ) — /■( u. r, i»' ) r: Ah'/[,,( u, r, iv 0"Aii'),

y^ et /'!,. désignant les (Jérivées de /'relatives à t' et iv ([iie l'on suppose exister. La lormnlc ( i) devient alois

-^ := — /■', (/<-() At/, i' -, Ar. Il' - Air i

— —/"'(M. p-T ')'Ar, 11- Aip) A,/- •' ' ^ ^

/ ,,,( U, i\ ir - 1) Ad' t.

Ax '

Si donc /'„,/[,, /"^ sont continus par rajjporl à u, c, tr, on aura, en laisant Ax = o,

A/" lim -^- ou dt'rivce do/— ^^'/",, («/, r, a-j- \>'f[,{ii, v, w)-- iw'/^^, (">''• "^)- Aar ■ '

(7est dans cette Ibrmule que consiste le théorème des l'onclions composées. On en conclut que la dérivée cV une Jonction composée est égale à la somme des résultats obtenus en multipliant les dérivées de cette fonction, relatives à iliaque fonction composante, par la dérivée de cette fonction composante.

Application. — Clierchons la dérivée de //'', u et v désii^nant des ionctions de x. Cette fonction est composée de u et V : la dérivée relative à u est vu^~^, celle relative à v est u^logu; la dérivée cherchée est donc

rw''-' u' - n^ lop; uv'.

En particulier, la dérivée de x^ est

j:j-^-^ -; x^ logx — x^'{ 1 - lugx ). La dérivée de x^-^'^ est

^xx^^'i-i - .v'-^> logarCi -,- loç^x)x-^. La dérivée de x^"^^ est

lo? j: ar'"S-r-' .; ,fJ^*x-i \(jcrx --- ua:'"S-^-' \o"x.

m KO II II- i)i:s Df: un fins. 83

X. - Sur quelques fonctions dont on peut calculer la dérivée d'ordre n en fonction du nombre n.

\a\ (lc'iiv('e/i''"'*'cle x^'cstm [m — i ) . . . (/// — n ~ i )x"^'", (flic lie n'' est a''{\o^a)", celle de c"-' est (i"c"'', celle de , ( r .■>.... /t — 1 ) , ,

La dérivée /<'""^def^-;- v — n'-r-...esl w'"^ + v'"'> — tv'"^ +

Voici mainleuaiit une l'oniiule due à Leibnilz cl qui permet

de lornitM- la dérivée /?"""^ d'un piuduil : >i l'un difréniilie

\-:=a\- plusieurs lois de suile, on trouve

y = UV — iu ,

y" = liv" — •i.u'v— u"v,

y'" — iiv'"-- 3 11^"-^- 3 «'V-

ce ipii laiL soupromier la Ibrniule générale

{ I ^ y " — UV " -- C,', u V "-' - - C,; u"v'"-- -r . . .-- u'"> r,

C,',, C,-^, . . . désignant les nombres de combinaisons de // objets j)ris I à 1 , 2 à 2, . . . ; en sorte que l'on a, svndjoliquement,

j" = ( u- -Vf,

les exposants de u et r devant être cliangés en indices de dérivations après le développement de (w -f- i^")" par la lormule du binùme. Pour démontrer cette lormule, il sulfit de prou- \cr que^ si elle a lieu pour la dérivée /i'""^, elle a encore lieu pour la dérivée (/i + j^i""e. (;ar elle est vraie pour les trois premières dérivées, comme on le vérifie directement.

Admettant la lormule (i), si nous prenons la dérivée des deux mendjres, nous trouvons

y.n^v. «t; rt-Hi) c,', u i"'' — C2 «" t"' " r

H- u p'"' -T- GA «" V "-" r- . . . ;

or, par la tliéorie des combinaisons, on a

TM -i I — ri r 1 -^ T' ! C-

84 ciiAriTRE m.

donc

ce qui démontre la formule de Leibnilz.

Ladérivée /?' ""^dc?/('<rest, svmboliquemcnl,(« + ^'^ wy"\ et celle formule se déduit de celle de Leihnitz comme le développement de (a-h b -{- c)" se déduit de (a -\- b)", ....

La dérivée /j' ""^ de - se calcule comme celle d'un produit // -. auand on sait trouver les dérivées de -, et nous vcrrons tout à Tlieure comment on peut paribis trouver la dérivée n""^" de -.