X. — Dérivée /i"'""" d'une fonction de fonction

Considérons une fonction de fonction ^ = es («) de j:, « désij^nanl une fonction de x, et proposons-nous de calculer la dérivée /i''''"'^ de 'f ('0' ^"*^ nous appellerons z-"'K On a

Z' = Ci' {u)u,

Z" — o" ( J< ) k'- — Ci' ( î/ ) if",

z'" = 'J"{ Il ) «'3 -i- Ci" ( i< ) 3 if' i<" + Ci' (, i< ) »'",

et il est évident que l'on a

( I) ^'' = A;, ci'"(»)— A„,ci«-'(; «/)--... — Aï '/(^O — -^ !?'(").

Al, A2, .... A,, désignant des quantités qui ne dépendent que de la fonction u et de ses dérivées. Pour déterminer ces coefGcienls, on peut supposer que l'on donne à la fonction o des formes particulières; en faisant successivement '^(^f ) 1= M, ?/-, ?/% . . . , ?/«, on a

«"' =Ai,

(m!)(«) = A,2« -f-Ao.a.i.

(a")<" = Ai««"-'-t- A2/l(/l — ljf<"-2-t- .. . -t- A„/l(/t — 1;.. .'2. I,

TIlÉOnii: DES DÉRIVl^ES.

SI l'on pose alors A, = ^' ■., on oblient

(«syn) =3B,f/î-i-3B2«^ Bj,

Pour résoudre ces équations, écrivons-les ainsi

iu'"^= B,, («îy«)=B2— CîB,f/, («')'«' :^ B3 — Ci B, M — C,^ Bi «2.

( H')'"' = R/+ '^^'l^'-i « -^- • --^^^/"'Bi '<'-',

or nous avons

G/ — G/ Gy+, -f- G/ "Gy+2 — • • '^^ G, G/ = o,

l^our le prouver, observons que lay"™* formule a pour premier

membre

i( i — \). . .( i — / - Il i(i — 1 1. . .a — / ) / — I

ou bien

i( i — i)..ji — ./— I » r / — y (/ — /)(i — y — n T.

la parlie entre crochets est (i — i/~-'; l'équation en question est donc bien vérifiée. Les formules (2), multipliées respectivement par C,', C^-, — C;', ..., et ajoutées, donnent

alors

80 cii A r I T n F 1 1 1 .

il rcslc à remplacer A/ par ' — . dans (i); mais on peiil

. . lî/

écrire —sous une antre lorme, savoir u'

le signe D'Jj'voulanl dire dérivée d'ordre n par rapport à //, et l'indice ?/ = a indiquant que l'on doit faire a r= // dans If résultat. On a donc

et, par suite,