XI. Dérivée //' d'une fonction rationnelle

La déi'ivt'C //'""'■ iVuw polMiôine est la somme des dérivées ^iimes^ que l'oti Sait |)rendre, de chacun de ses termes. Pour prendre la dt-iisi'e n' '"'' d'une fraction rationnelle, on peut la

décomiiosor en (!lémenls simples, do la forme ou

A(j7 — «)"'", dont on connaît les dérivées /?"'"'''.

Mais on peut aussi procéder autrement. Soit une fraction

rationnelle r= -? dans laquelle ti et v désiirnenl des polvnômes entiers en .r ; on aura

Si Ion prend /> fois de suite les dérivées des deux membres, au movcn de la formule de Leihnilz, on aura

si, dans cette lormule, on fait/? =:^ i . i,'i. ...,/), on obtiendia n équations du premier degré, à n inconnues )'',)'". . . .,^'". que l'on pourra résoudre et qui feront connaître r" sous forme d'un quotient de deux déterminants.

Un artifice analogue permet de calculer la dérivée n"'""^

d'une expression de la forme '>' = 4 -5 où t' désigne un polv-

nôme entier. En effet, on en tire

et, en différenliani ,

v'y- - '^yj' r — o ou

En différenliant n lois, par la formule de Leihnilz, puis en faisant n = 1, 2, ..../?, on a des équations du premier degré pour calculer ;', 1" r".

88 CHAPITRE m.

XII. — Formule de Maclaurin et ses applications. Si, dans la lornuilc de ra>lor,

ou

ou

ù l'on a

-OV'/r

on remplace x par zéro et h par x, on obtient la formule dite de Maclaurin

f{x)=f{o)+xf\o)---...+ -^^/«(o)-R,