I . •! . 3 . 4 \ .-i.i. . .'in

Dans cliacuiie do ces formules, le dernier lernie ou, si Ton veut, le reste, tend vers zéro (juand /? eroit indéfiniment; j)Our /? ^ X , on a alors les séries

I I . Jt i .Ji..i. . . H

sina: = x

Développemk-nt de (i-;-jr)'^. — Le développement de (i + JC^ est déjà plus dilFieile à obtenir. Si Ton l'ait

dans la iormule

comme on a

f[x)~{\-\- xy. ..f"{x) = {i — xy-"a{a — i). . .{a — n — i),

il en résulte

(l-i- Xy = 1-. X X-—... -^: X"

Nous allons prouver que, si x est compris entre — i et + i, le reste tend vers zéro, en sorte que, pour ces valeurs, on aura

90 c iiAiMTUi: ni.

Pour les anlros valeurs de .r, la série qui fornio le second membre esl divergente; il n'y a donc pas lieu de discuter pour ce cas la forme du reste. Ce reste peut s'écrire, au signe près,

.m -■-- Oj")" •( " -^ j

Si l'on néglige le l'acItMii- Uni a.r(i -O.r)""', ]<• produit dr autres facteurs sera

Si X esl positif, chaque fadeur entre crochets finit par devenir nolahlenient tuoinchc (pie i ; si .r est négatif, il eu est de

même, car, en changea ni ./en — x' '- r-^ devient — ^ r—j^

quantité encore uolal)lement moindre que i. J^e reste tend donc bien vers zéro.

Df.veloppement de log(i -i-.r). — Si Ion suppose x compris entre — i et -^ i, on trouve, en appliquant la même formule que tout à riieure,

.-r- .T^ j"'< loîi:(i -^ a* ; = .r ; — : ^ ....