XIII. — Développement de arc tang.r

IjCS applications que nous ferons de la loriuule de Taylor au développement en séries sarrèleront à la fonction arc tang.r. Les applications qui précèdent ont été faites pour nous conformer à un usage reçu; celle qui va suivre a pour but de faire connaître un artifice de calcul. Soit y = tangx.

On a

si l'on différentie n ibis, on a

yln-^l) .= ^ii^ 1.2.3. ..n\ ^ ~ : '-^

TUrniilK i)i;s DfilMVKKS. ()l

Posons

nous aurons ou

ou. par la formuic de Muivrc.

y n^\' — ( __ \yi ,1 \ •~\\\[ it 1 I-; siii''-> '^t

donc, pour .r — o, c; ittz -,

et, par suilp, en appliquant la première forme de la formule de jMaclaurin, e! en appelant-!; un noml)rf' mninfire rpic i,

air t;ini,'j' - x . . . ' .r-"' ' — •

3 'in '- \ -in i

Quand x est compris entre — -i et -ri. le reste tend manifestement \ers zéro; quand .r est plus grand que i en \alcur absolue, iln'va |)as lieu défaire une discussion, la série; (pii constitue le second membre étant divergente; on a donc, tant (pie .r reste compris entre — ■ i et -;- i,

arc la 11^.^- ;= :r —

XIV. — De la formule de Taylor considérée comme formule d'approximation.

La formule de Tavlor n"a jamais servi à découvrir un nouveau développement en série; elle est impuissante à donner tous ceux qui sont déjà connus, mais elle a une grande

Ç)2 Cn.VPITRF m.

Iniporlance analytique, comme on le verra clans la suite; nous nous bornerons ici à montrer comment on peut l'utiliser dans les calculs d'approximation.

Supposons que Ton veuille résoudre l'équation

et que l'on en connaisse une solution approchée a. En posant X ^= a -{- /i, on aura

/{a — h) = o ou bien

On déduit de là

- /(a) h /ïa-f-O/Q

Jin prenant h ^ — '—. — -■> 1 erreur commise est

h /"ia-^(ih) , i- /<«) '

on pourra l'évaluer en remplaçant h par une ^aleur supérieure à sa véritable valeur, valeur supérieure que l'on connaît en général, car on a le plus souvent deux \aleurs apj)rocliéès de jr, et ensuite en remplaçant /'(a + OA) par le maximum de /"(x) quand on fait varier x entre les deux valeurs de la racine, l'une par excès, l'autre par défaut.

Voici une autre application de la l'ormule de Tavlor. Je suppose que l'on ait construit une Table de la fonction /(x), une Table de logarithmes par exemple, donnant les valeurs

de/(i),/(2), ...,f[x),/(x-rri), Si, X étant entier, on veut

avoiry"(cr + h), h désignant un nombre inférieur à i , on pose

et Ton en conclut

TH^-OUIK DES DÉRIVÉES. qS

OU, en appelant A la différence tabulaire,

on commet ainsi une erreur f|irjl est facile dévaluer. En elTet, on a exactement

fix -- h)— f{x)~ hf'ix -^ <)h), fix^ i)—/(x)= A = f(x-^O'),

0 cl 0' étant tous deux, conipris entre o et i. On a donc posé

fix — li)=f(x)- h\ =/ix)-^ hf\x -^ 0' j,

au lieu de

fyx^ h)= fi^x)-^ hfx- Oh);

par suite, l'erreur est

h[/'(x-,-lih)-fix-^fi')].

Application. — Supposons qu'il s'agisse d'une Table de logarithmes, l'erreur commise pour calculer \og[x -{- h), quand on se donne x, est

\o"eh ( r—, ^, ]

h lojre ,„,

0' — hli est moindre que l'unité : donc l'erreur sera moindre

que

Pour un nombre de cin(j chiffres, elle n'atteint pas le dixième.

Autre application. — S'il s'agit d'une Table de logarithmes-sinus, l'erreur commise dansle calculdelogsin (a: H- A), l'unité étant l'arc de lo secondes, sera

h loge[cot(j:-i- 8/*;— cot/i(x-i- 6'j]

<i I (Il M' I r it i: 1 1 1.

// lo-.'sin(0' — 0/M

i;us(j; -r- OA)cos(a.' -i- 0'/

olle csl iiioiikIio (jue

lou e

(arc lo )-.

cos*(a.' - lo )

c'est-à-ilirc toul à lait iiéglij^cable pour des arcs iihuikIic- <|ue 88".

EXERCICES ET NOTES

1. Le Icclcur peut prendre une ronclion aii,il\ l iijiii' an hasard et «M cliereher la dérivée. Pour contrôler le résultat, il ^ullii de donnei' a cette fonction une autre forme; en cherchant sa dérivée sous ^a nouvelle forme, on doit trouver des résultats identiiiues. Par exemple, <in a

->cos.f — /> * « — siii- r — —