I. — Différences des fonctions d'une seule variable

Soit f{x) une fonction de x. Si nous donnons à x l'accroissement Ax, f{x) prendra l'accroissement Lf, égal à f(x-'rAx) — /{x), auquel on donne le nom de différence première de f{x). Cette différence première est une nouvelle fonction de x, et, si l'on y change x en x — Ax, elle subira un accroissement AA/(x), que Ton représente aussi par A-/(x), et que l'on appelle la différence seconde de/(x). La différence AA-/(x) de A-(.r) s'appelle la différence troisième de/(x) et se représente par A^y(x), et ainsi de suite.

Cherchons, par exemple, les différences successives de «-* ; en posant Ax = h, nous aurons

A2 a-r ^ ( (2x+/i a^jia'' — i ) — a^(a'' — i)^et, en g«'néral,

Les différences successives des autres fonctions sont plus difiiciles à former. Considérons cependant la fonction Ax'", où A est une constante; nous aurons

la formule du binôme donnera le résultat, qui d'ailleurs n'a rien d'intéressant. Nous ne formerons donc pas l'expression générale de ^"Ax"', mais nous ferons une remarque importante au sujet de cette expression cl, ])lus généralement, an L. — Traite d'Analyse, 1. 7

9^ ciiAnrnK iv.

sujet de A"F(.r), en dcsignanl par F(.r) un polynùme do degré ni en x. Posons

¥{x)— Ax"'-r B:r"'-> - . . .:

nous aurons

AF(^)" k{x -- h)'" - \x'"'- \i{x- A)'"-' - B^'"-i -r-

Si l'on développe chaque parenthèse par la formule du binôme, il est clair que l'on trouve un polynôme de degré m — i et ([ue le ternie du degré le plus élevé dans ce polynôme est A/?i .r'"~' A; donc

\?{x)~-- Xmx'>i-^h-

SITon prend la dincrence de AF(.r), ou A-F(.r), le terme de degré le plus élevé dans le résultat s'obtiendra en multipliant le terme de degré le plus élevé dans AF(x") par m — i et A; on aura donc

^^F{x)^- Xm{/}i-i)x''i-^h^r-

AïF(^) —- \m{m — i){m — i)x'n-^ h^ -r

A'»F(^)^= Am( m - i)(m — 2). . .{m — n - ijj7'"-«/j«~ ...

et, en particulier, si n -- m,

Ainsi la différence /;i' ""' d'une fonction entière de degré m est égale à une constante, et, par suite, les différences d'un ordre plus élevé sont nulles.

Quoique les formules suivantes soient peu employées, nous les signalerons, parce qu'elles peuvent avoir quelque utilité,

\uv (« Aa)(i''- Ai^) — ui> = u\v -- i> \u lu \ç,

A(a ^v)=^\u : Iv,

u u- Ak U V \u — Il \v

on les retrouvera le plus souvent quand on en aura besoin, sans qu'il soit nécessaire de les retenir.

DIFFÉIIENCES I)ES FONCTIONS D'uNE YAUIAULE. 99

Parfois la variable x peut recevoir des accroissements //, A', A", . . . successifs inégaux. Pour ne citer qu'un exemple, considérons la l'onction a'"; nous aurons

Aa^ = a^^i^ — a^ = a^(a/' — i),

II. — Formules servant à calculer A"/ en fonction de f{x), J\x'T- h), f{x-' •j.h), .... et formules inverses.

Soit une fonction y(x) quelconque. Posons

[\) J\x)^-.f^, f(x—h)^-/i, f{x--ih)=/i, ..., /(x-^nh) = /n. Nous aurons

nous obtiendrons ensuite

(3) AVo- Vi- Vu, ^'A = V2- Vb AV', - A/,-A/,, ...,

puis

(\) AVo - AV'i - AVo, ••;

si, dans Ç.\), on remplace A/, et A/o par leurs valeurs (2), on a

et, de mèmC;

AVi-/3-V. + /i.

La formule (4), à l'aide de celle-ci, devient

^Vo=/3-3/2^ 3/,-/„.

Si l'on examine attentivement les formules donnant A/^, A-/o, A'/o, on ne tardera pas à soupçonner la formule

( 5 ) A'Vo - f.n - C;„/,„i -- G;„.A„^o - . . . r /o,

où G^",,, G;)^, . . . représentent les coefficients du développe-

iOO CH A ri TUE IV.

nieiU de (rt-h^)'". Aclmelloiib la l'ornuilc (5) pour toutes les \aleurs cnlières de m inléi-ieures à une certaine limite, et démontrons qu'elle subsiste en changeant m en m + i . Comme elle a lieu pour /;? = i , 2, 3, elle sera générale. La Ibrmule (5), appliquée à la fonction f^{x)=f{x -f- A), donne

et, en soustrayant (5) de cette nouvelle lormule, on a

A'«/i — ^"'fo =f'n+x -(CL -- !)/,„ ^(C;„ - C;„ )/,„! - . . . =/o,

c'est-à-dire, en vertu des formules connues qui ont lieu entre les quantités C"^,

cette formule n'est autre que (5), où m a été changé cnm -\-\. La formule (5) est donc générale.

Corollaire. — Il est bon d'observer que la formule (5)» que Ion peut écrire symboliquement

en changeant les exposants de / en indices, aurait encore lieu si Ion avait

c'est-à-dire si les accroissements successifs A, li , h''. . . . donnés à x étaient inégaux.'

On peut obtenir une formule inverse; en eflct, on a, par les formules (2),

(6) /i-/u-Vo, /2=/,-A/,, ...

et, par les formules (3),

(7) A/, :- A/, - A>/o, A/5==AA-:-Aî/.

Si, dans la seconde formule (6), on remplace/, et 1J\ par DEPARTMENT OF MA-ln./v\ATlCS

IINIVERSITY OF TORONTO

DIFFÉRENCES DES FONCTIONS D'uNE VARIABLL. IOI

leurs valeurs, tirées de la première formule (6) et de la première formule (^), on a

On vérifie sans peine que

/3 = /o - 3 A/o -+- 3 À Vo - A Vo,

et Ion est tenté de poser

fm = /o - C •, A/o - Cf„ A Vo - ... - A"'/»;

on vérifie cette formule comme la formule (,5), en observant que, si elle est vraie, on a encore

fm^x^A - c)„ A/, - cf„AVi-. . . -A'"/i;

d'où

J,n^, =/o-^ A/o -- C;, ( A/o - y-/o )-^Cl ( V-/o ~ A Vu ) - . . .

et, en vertu des propriétés du symbole Cj'^,

Jm-i-l ^/o -^ ^/ii + l A/o -r- C„, + j A-/|j-f-. . . .

On a donc, symboliquement,

pourvu que, après avoir développé (i + A)'" par la formule du binôme, on ne regarde plus A" comme une quantité, mais comme un symbole de difféi'entiation.

III. — Examen du cas où la différence de la variable tend vers zéro.

Considérons une fonction /(x), finie et continue, ainsi que ses n premières dérivées, quand sa variable reste comprise entre x et a: ^ nh. Supposons en outre que sa (/i + i^'ine dérivée soit bien déterminée ou que sa /i'"'™^ dérivée soit continue. On aura, en posant A.r = h,

Si l'on développe chaque terme par la formule de ïaylor, on a

\"fix)=i \f{x)-^n

-Ci(«-i)

Dans cette formule, Ro, R). ... sont de la forme /"+'(X) mullipHé par un facteur numérique; X est un nombre compris entre x ei x -{- nh. Par exemple, Rq est égal à

]i"+^f"^\x — ^nh).

1.2.3. . .(n-i-i) Cette formule s'écrit, en appelant R la somme Rq

AV(^) = (A''a70)o/(:r)-^(A"ar>)o-/'(r)

f"{x)r RA«+'.

Dans celte formule, (A'\r")o représente la différence /''''"'' de J7" quand on suppose j: = o et Ax = i, ainsi que cela résulte de la formule (5) du paragraphe précédent. (A'x")o seradonc nul, comme on l'a ^^l, pour i<. n, et égal à i .i.'5. . .n A r" pour i=n ou, comme A^ = i, à i .2 .3 .../?. La formule précédente devient alors

si l'on divise par A", on a

et. quand on fait tendre h vers zéro, on voit que, sif"+*{x) existe, ou si /"{x) est continu, la limite de ^^^ pour Aj? = o est f"{x).

DIFFÉRENCES DES FONCTIONS d'lNE VAIlIAnLE. I o3