IV. — Formules d'interpolation de Newton et de Lagrange

Interpoler, c'est trouver une fonction qui prenne des valeurs données pour des valeurs correspondantes données de sa variable. Le problème de l'inlcrpolalion est donc indéterminé. Lagrange s'est proposé de résoudre le problème de l'interpolation en assujellissant la fonction inlerpolatrice àètre entière et de degré inférieur d'une unité au nombre des couples de valeurs simultanées données de la fonction et de la variable. Sa formule, donnée dans les Eléments., est

(■) /(a:)=.'y iM /(^ .

^ X — Xi F'(^/j'

Xq, Xi x„ sont les valeurs données de la variable, et

/(Xq), ..., f{Xn) les valeurs correspondantes données de f{x) ; et l'on a

F(X) — {X — X(i)(x — Xi) . . . {x — Xn)-

On peut vérifier la formule (i) en observant que : i" le second membre est bien de degré /?, F(:r) étant un polynôme de degré n -h i divisible par (a: — :r,); 2" si Ton fait x = Xr^, le second membre, qui peut s'écrire

'y (X—Xt,) . .. (x — Xi^i)( X — Xj-^i) .. .(x — x„) . .m^{Xi —X^) . . . {Xi — Xi-i){^i — Xi+i) ...{Xi—Xn)-^ ' '

devient précisément /{xx)', d'ailleurs la formule (i) peut

f(x) s'obtenir en décomposant ^ — - en fractions simples; el f(x)

est déterminé en se donnant seulement J{xo), /(x,). . . .,

Il est facile de calculer l'erreur commise quand, à une fonction quelconque /(j:), on substitue l'expression

-•^ /(xj) F(x)

^à ¥'{Xi) X — Xi

tO-J CHAPITRE IV.

fournie par la formule de Lagrange, comme si elle claÏL cnlière. En elTol, la quantité

J^ I ^}c\Xi) X — Ti '^ '

s'annule pour x =^ x^^ x^. . . . , .r„ ; elle est donc de la forme

{x~X^\x — Xy)...^X— Xn ) -j — -3 , ^ •

X désignant une movenne entre x^ x^., J^i, . . . , Xn- Or, '-2(^) étant la somme dc/(^') et d'une fonction entière de degré n, sa dérivée n -\- i' "*^ se réduira à/"+'(x) ; on aura donc (p. 'jj)

fixf) F(» ^, , /«^MX)

J^ ' ^dW(Xi)x— Xi ^■

¥\Xi) X — Xi I .'i-O. . . (/l -^ Ij

Avant Lagrange, Newton avait fait connaître une formule d'interpolation fondée sur la théorie des difFérençes, mais qui suppose essentiellement que les valeurs données de la variable soient en progression arithmétique.

Reprenons la formule démontrée au § II,

(I) /«-/0--A/0- — ^-^ A-/o^ ^--^ AVo-....

Si Ton y fait /i = o, i , 2, 3, .... on trouve

Donc le second membre de (1) se réduit de lui-même à /o> J\i ■■■•Jii pour /i = o, I, 2, ..., n, c'est-à-dire j)our les valeurs de la variable, x, x -.- h, x -r 2 h, . .., x -\- nh. Si donc on pose