X -:- nh = X, n

DIFFÉRE>CES DES FONCTIONS d'lNE VAUIADLE. I o5

la rormulc (i) deviendra

\ — TX—.r— h\ — -^ — 5- ^t . , y-/ X

-^ 1. ^ JÂ — ^V(-)--...

et le second membre de celle formule deviendra /{x) pour X = X, /{x — /i) pour \. = X -i- h, /(x-T-^h) pour X = J7 -t- 2/< , .... Ce second membre, limilé à n -- i premiers lermes, sera donc une lonclion entière de X,de degré n, se réduisant à des valeurs arbitraires /"o, /i, . . .,/« pour des valeurs de X en progression arilhmélique. Celle formule est celle de Newton. Nous allons nous y arrêter. Posons

.,,., ,, . \ -xlf(x) (X-x)(X-^x-h)\\f(cr)

iA\)-jix)-— ^ — ^-.

/ (\ — x^...(\—x—nh)P

et considérons la fonction de :;

z-xSf { z — xMz — T -~h\ . . A z — x~n—\ h) 1'^ f

(j — xMz — X -- h) . . . ( z~ r— n/i ) P 1 .2.3. . .1 « - i) A"-"*

Celle fonction s'annule pour ^ = X et pour ^ := x, x -f- /i, . . ., X -r nh\ sa. dérivée [n -r- i)"""' doit donc s'annuler pour une valeur movenne entre X, j:, x-j-h, . . . , x -r- nJi. Donc

et, par suite,

La formule (2) donne alors

^ ., , X — .rAA>) {\^.r^..A\ — x — n — \h)\'^f{x)

/3 ; ' I \ I j /j 1.2.3. ..rt A'»

I06 CHAl'lTKK IV.

z désignant une moyenne entre .T,x -\- /i X. Si, dans celle

formule ainsi complélée, on l'ail h =: o, en tenant compte de

la relation limy^ = /"(^j-)^ on retrouve (ce qui devail être) la

formule de tavlor

J"- ■' ^"^ ■' , ^\ ^ I .'2. . .(rtH- i;-' ^ •

Présenlée sous la forme (3), la formule de Nevvlon devient une idenlilé, et convient à toutes les fonctions continues admettant n dérivées continues ou une (n -h i)*'"'* dérivée bien déterminée.