V. — Formule de Newton généralisée

Posons

ai — Uq

CI2 — Cil

puis

(3) /l^-Zii'-""» =/(„,. a„a,v

Uo — do

pin

/(cca, g,, ai)—f(a-2, a,, ap) . .

Nous aurons évidemment

Si l'on remplace /(rt|) par sa valeur (4) et /(V/o, «i) pai" sa valeur (2), on aura

/(«2)=/(«o)-^(ai -«o)/(«i,«o)

■^{a2—ai)[{ai — ao)/(a.,, «i, Oj)— /(«i, «0)].

DIFFÉRENCES DES FONCTIONS d'uNE VARIAItLE 1 07

c'esl-à-diie

On est ainsi conduil à soupçonner la formule (6)

-- (rt„ — rti)(rt„ — au)/(a2, a,, «o)

(jue Ton vérifie d'ailleurs sans peine. Posons

) -4-(.r--aj)(j: — «,)/(«2,«i,«o)--- • .

— ï* (x — Uo). . .(x — a,i).

La fonclion de :;

/(-) — /(«o) — (- -- rto)/(«i, «0) — . . .— P(- — «o)- • •(- — ««)

s'annulera : i" pour z = .r, en verUi de la formule (7); 2" pour;=:«o, <7,, ..., <7«i, en vertu de la formule (6). Sa (/? -t- i)"^"'*^ dérivée sera donc nulle pour une valeur ç de ;, moyenne entre z-, a^,, «, Donc

y«+i(î)P.,..^.3...(rt a- i) = o.

Tirant P de là pour le porter dans (7), on a

/(•2^)=/(«o) — (^ — «o )/(«!, aQ)~...

-^ {x — ao){x — ai) ... (x — a,i-i) /{an, ««-1, «0)

(x 'ao)(x -aj) . . . (x-~a,i)

Celle formule d'interpolation est due à Ampère. A la forme près, du reste, elle ne diffère pas de la formule connue de Lagrange.