VI. — Autres formules d'interpolation

Soient y'o,/,, ...,/„ les valeurs de la fonction interpolatrice pour les valeurs correspondantes :Co>-^n •••, ^^ de la variable :r.

Brassinne [Journaldc Liouvillc, i"" série, l. II) a fait connaîlrc la rorniulc suivante :

A„/oF(x)(.r-.ro)-^--.\,/,F(.r)(:^-.r,)-«-^-...

où F(^) désigne le produit (x — Xo) {x — Xf) . . . {x — x„), et où Ao, A,, A2,. . . désignent des quantités arbitraires. On peut l'écrire

Aq/o (.r — -rp)-' -+- Ai/i (a: — ar, )-' -4- ... •^*^^'~ Ao(^-.ro)-i-r- A, (.r-.ro )-'-!..".

Voici une formule trigonoiiiélrique :

- sin(.r — xi)sin(x ■ .To) . . . s\n(x — .r„)

-^ ^ '~''^ ** sin(.ro- .ri)sin(a-o — x^) . . . s\n{xo — x„) sin(.r — .ro)sin(a^ — .r?) . . . sin(a: — x„)

sin(a:'i — J"o)sin(j7i — ^"2) • • • sin(.ri — x,i)

On pourrait, par les méthodes suivies plus haut, trouver une limite de l'erreur commise en appliquant ces lormules.

Formule d'interpolation de Cauchy.

La formule d'interpolation de Cauchy a pour but de faire connaître une fraction rationnelle dont le numérateur soit de degré /?2 , le dénominateur de degré /î, et qui, pourm + /i-f- i valeurs données «o> «^'^u- • •? «/«+« de la variable .r, prenne m 4- /z + I valeurs données également.

Soity(j:)la fonction 'cherchée. Posons

(f(x)=(x — ao){x~ ai). . .{x — a„),

<\<{x)= {x — an+i){x — Clfi+.y) ■ ■ -{^ — am+n)-

La fonction

/(ao)/(ai) .. .f(a„) ,

'\'{ao)<\>{ai)... '\>{(i„)

/(ao).../(a„) i>(a>) ^(x)

i^(ao) .. . •\'{a„) f{ai) (^ — a/)cp'(a,)

DIIKÉRENCES DKS FONCTIONS D ' l' N E VAniABLE. 1 09

s'aniiiilc jtour X = c(,i^i, a„j^-2, ..., ««+«*; de plus, son dénominaloiir, abslraclion laile du lacleui"-r-^ ^ '-rz r> cornmun

au iiuniLialeur, est précisément eiral a -^^ — (> en vertu de la

formule de Lagrange, pour j^ ■.= a^, cii, ..., «„; donc, enfin, cette expression (i) se réduit ix J\x) pour x = Oq, a^, ..., a„ et à zéro pour x ^= ««+1, ««-(-j, — f^f/i+m-

Soient N le numérateur, D le dénominateur de l'expression (i); effectuons dans N et D toutes les permutations dont les indices o, i , 2, 3, ...,/?? -h « sont susceptibles ; soient N, , No, ..., N|x les diverses valeurs de N, et D,, Do, ..., Dy, celles de D; on aura

En effet, laisons, par exemple, x =^ a^ dans l'expression précédente. Le numérateur se réduira au produit de /(ao) pai* une somme de termes de la forme

/(g,) .../(a,,) r ^.^ ^ ^ f( ai) . . ./( a,,) ^

<l{ai) ...'l{a„) 'l>{ao) ' ° <!^{ai) . . .<l{a„)'

quant au dénominateur, il se réduit, pour j" = rto,à une

somme de termes de la même forme, puisque l'expression jy

se réduit à /(«o) pour x = «o, si N/ ne se réduit pas à zéro.

VII. — Expression des dérivées en fonction des différences et vice versa.

Etant d )nné 'S les d'-rivées d'une fonction f{x)^ on peut calculer A"/ par la formule de Tavlor. Nous avons trouvé, en

chercliant la limite de — •

On peut écrire, dans cette formule, un nombre de termes

I lO CHAI'II UE lY.

aussi grand que l'on voudra, et le dernier sera d'une forme particulière à la(|uelle il est inutile de nous arrêter. Mais on peut se proposer la question inverse : connaissant

f{x), lj\x), AV(-r), ...,

calculer /''(.r),/"(.r), .... Voici comment Lagranf^e ariive au résultat par une induction très curieuse : posons la formule symbolique

d'où, supprimant /"comme s'il était un véritable facteur,

et, par des calculs tout aussi peu rigoureux,

A i=e/'i>, AD = log(i-f- A).

Appliquant à log( i + A) la formule de Taylor, on a