A- A^ AD=^A
et, multipliant par/,
/il)/ ou /ifU) -^ A/- \ AV- - è ^V~- ■■■■
(Quoique ces calculs soient tout à fait dépourvus de sens, le résultat est très voisin de l'exaclitude. Et, en eflc't, nous avons vu que l'on avait
fa) -/(x) + .^- A/^. -,- — ^ A./- - . . ,
lirons de la Iv — tt- ' > nous aurons
l'aisant alors X = :r, il vient
(g hf'ix) :--: A/- i Ay-. . .± i A"/^. '^Z\ ^"'■'(^>'
DIFFÉIIENCES DES FONCTIONS D LNE V.VUIADLi:. III
^ désign;iiil un nombre compris entre :c et :c -r (/i — \)h. On aurait d'une façon analogue le développement de h-/"(x), mais il serait plus compliqué.
Quand on interpole, on peut faire usage de la formule (i) pour calculer la dérivée de la fonction interpolatrice; mais, comme/"''" '(;) est inconnu, il est difficile de faire usage du dernier terme; alors, le plus souvent, on calcule dans le second membre un nombre de termes assez grand pour cpic les suivants paraissent négligeables. Sans doute, ce procédé est inexact, mais, à délaut de connaissances précises sur la nature de la fonction empirique que l'on étudie, on choisit les hypothèses les plus plausibles, et il faut dire que la formule ( i ) fournit généralement des résultats pratiquement suffisants, si h est petit.
VIII. — Application du calcul des différences à la construction des Tables numériques.
Je suppose que l'on veuille dresser une table des diverses valeurs de la fonction x', pour des valeurs de x en progression arilhmi'tique dont la raison soit \x.
On peut éviter de longs calculs comme il suit : on observe (jue X' x' est constant, que les valeurs de ^^ x^ seront connues dès que l'on connaîtra l'une d'elles ; il suffira, en effet, d'y ajouter (ou d'en retrancher) successivement la différence constante A''.^:'. Ayant formé les valeurs de à^x'', il suffira, pour former celles de A- j;'', de connaître l'une d'elles. On aura
alors
A-(x-r- Aj-j' = A-j-' -T- A-'x''. ...;
ayant formé les valeurs de A-x*, il suffira d"a\oir une des valeurs de A^' pour posséder toutes les autres; enfin , pour avoir toutes les valeurs de x*, il suffira d'en posséder une seule. Vinsi, par de simples additions ou soustractions, on se procurera toutes les valeurs de x', connaissant une valeur de x et les valeurs de ses différences.
112 Cil A PI THE IV.
Dans le Tableau ci-dessous, on a suppose \x = i, et Ton a formé, au moyen de la méthode exposée, les quatrièmes puissances de 4j 5, 6. On a calculé directement o*, i^, 2' et 3' que Ton a inscrits dans la colonne intitulée x'' ; dans la colonne intitulée A, on a inscrit Ao', A i '. A 9.* : dans la colonne A-, on a inscrit A'-o', A- 1 '' ; on a inscrit, dans la suivante, A''o'. Toutes ces différences ont été calculées au inoven des quatre premières valeurs o, i, 16, 81 de x''. Quant à A''o, on l'a calculé directement; il est éî^al à 1.2.3.4-
La Table une fois préparée, on a procédé ainsi qu'il suit
En ajoutant A^o'* = 24 à A'o^ = 36, on a obtenu
En ajoutant ce nombre à 5o = A^ 1*, on a obtenu
En ajoutant ce nombre à 65 = A3*, on a obtenu
Enfin, en ajoutant ce nombre à 81 ^ 3'», on a obtenu.. En ajoutant 24 ^ Ao' — Ai' l 'à 60 ^ A^ i*, on a obtenu
Aîo'*=^ 60 \-i'*=^ 1 10 A 4*^175
Une marche analogue aurait permis de calculer ( -i)*, ( — 2)'' , . . . par de simples additions ou soustractions.
Cette méthode peut êtreétenducà des fonctions quelconques qui ne sont pas entières, quand les différences Ar ne sont pas très grandes : i" parce que l'expérience apprend que, le plus souvent, les différences premières, secondes,... vont en décroissant cl peuvent, au bout d'un certain temj)s, être
DIFFÉRENCES DES FONCTIONS d'lNE VARIABLE. Il3
considérées comme nulles, au point de vue du calcul numérique; 2" ou bien parce que l'on a des procédés pour calculer directement les différences d'un certain ordre.
Dans les Tables de logarithmes, par exemple, les différences premières restent longtemps constantes; les différences secondes sont donc, au point de vue numérique, nulles, c'està-dire négligeables.
IX. — Application à la construction des Tahles de logarithmes.
La formule de Taylor nous a permis de développer la fonction log( I -- .c) en série ; on a trouvé (p. yo)
Io-(i-:-x) = J7 r^ r — r - •••;
en changeant x en — .c, on a
PV / 2 3 4
d'oïl, par soustraction,
log — = 2 a: — ■ . .
Si Ton remplace x par — , on trouve
, x— I loîï
Laa^-i- I 3{2x-i- I )' ' ' J
Cette formule suppose que Ton a affaire à des logarilhmes népériens; en posant alors
log vulge = M = .-^~- , ° ^ losio
on a
) log(^-^l)-Iog^^2iM -i—H-- 1 ^^...1,
\^ix-T-i 3(2jr-T- i )^ J
et, cette fois, les logarithmes sont pris dans la base lo. Celle L. — Traité d'Analyse. g
Il4 CIlAPITRi: IV.
formule donne donc les dinV'rences tabulaires au moyen d'une série d'aulant plus convergente que x est plus grand.
De la formule précédenle, on tire, en changeant j? en j; — i,
logar— log(.r — i) = aM ( — — -^ - -' -■-...),
et, par souslraclion,
log(x-M)-2log^-f-Iog(.r-i)^-4M r -'-—^-^-...j.
Cette formule fait connaître les difl'érences secondes : elle est encore bien plus convergente que la première. Nous montrerons seulement l'usage que l'on peut faire de la formule (i). Il faut d'abord calculer le module. Supposant alors M = i , pour commencer, on a
(2) lognép(rH-i)-lognc'pr = 2^^— '-^ -t-...)'
et, en faisant .r = i,
l0g«Cp2:^-2Q-3-L--^-J-+...).
Avant calculé lognépa au moyen de cette formule, on en déduira lognépS en triplant; en faisant .r = 8 dans la formule (2), on en déduira lognépg; puis, en faisant ^ = g, on aura lognépio et par suite -NI. Ce calcul une fois effectué, avec une exactitude suffisante, on fera successivement .r = 1000, X = looi , . . . dans la formule (i); des séries très convergentes fourniront alors les diflerenees tabulaires d'où l'on déduira les logarithmes des nombres, car on sait que logiooo = 3.
Comme on a calculé directement log2 et logp, on pourra en déduire log4,<^, 16, . . . , logS, 10, 20, . . - , log3,9, 27, . . . , log6, 12,. . ., ce qui ibiiriiira des vérifications de temps en temps.
DIFFÉRENCES DES FONCTIONS D UNE VAIUAItLE.
