X. — Construction des Tables de sinus

On a proposé do calculci' directement les tables de logarithmes de sinus au moyen de certains développements en série dont il sera question plus loin. Mais nous pensons que l'emploi des méthodes plus élémentaires est au moins aussi rapide.

Pour construire une table de sinus et cosinus naturels, on fait usage des formules de Simpson, démontrées dans les éléments de Trigonométrie, etque nous transcrivons de nouveau :

[siii (m -^- I ) ^ sin jnh ] — [sin mh — sin (/« — i )li\ rz^ — xl,: sin mh,

k désignant la quantité très petite i — cos/i = asin"'^ ^ A. Cette formule, en y faisant/* = Ax, mJi =;r, peut s'écrire

A2 sin(ar — ù>.x)

ik s\a.x.

On a, de même,

A^ cos(a" — \x) = — Ttkcoix.

Les formules de Simpson font donc connaître, en définitive, les différences secondes des fonctions sin.r, cos.r.

Pour dresser une table de sinus, par exemple, on formera un tableau analogue à celui qui est figuré ci-dessous :

Arcs.

Sinus.

A sino

— 2 Â: sin A

sin/i

A siii/i

— 2 A- sin 2 A

ih

sinaA

A si n 2 /i

sin 3 A

Dans la colonne intitulée Arcs, on inscrit les arcs o, h = A.r, o// := aAx, ... : dans la colonne intitulée Sinus, on inscrit o et sin A que l'on suppose connu ; dans la colonne

Il6 eu API TUE IV.

intilulée A, on inscrit Asiiio, ou, ce qui est la même chose, la valeur de sinh; dans la colonne intilulée A-, on inscrit il'abord — aAsinA = A- sino, que Ton peut calculer, puisque l'on connaît 2/." et sinA. Connaissant A sino et A- sin o, on a, par une simple addition algébrique ou par une soustraction arithmétique, A sin//, que Ton inscrit, puis sin 2//, que Ton obtient en ajoutant sinA avec Asin// que Ton vient de calculer; connaissant sin 2 A, on calcule

— ik sin 2 A - \- sin //,

et ainsi de suite.

11 reste à montrer comment on calcule sin //, /r, et comment <»n se ménage des vérifications : sin A se calcule au moyen de la série

(i) sinhr./i ---...,

et A" = ( I — • cos h) au moyen de la suivante :

cos h

Al

ces séries ont été données page 49- O" pourra calculer quelques sinus, soit au moyen de la série (i), soit au moyen de la suivante :

sin (a — h) -- sin a i . . . 1

-T- cos a ( h quand on connaîtra sina et cosa.

II. — Application de la théorie des différences à la résolution des équations.

On peut faire usage du calcul des différences pour substituer des nombres équidistants à la place de j: dans la fonc-

DIFFÉRI-NOES DES FONCTIONS D ' l' N E \AniAni.K. II7

lion /{'T')- Si la fonction f{x) est entière, les difTércnces (J'iin ordre égal au dcgri'- de f{x) seront constantes, ainsi que nous l'avons montré, et l'on peut en profiter pour calculer plus facilement /(jc),/(j' ^ h), f{x — 2//\ ... qu'en faisant un calcul direct. Nous avons observé que, si la quantité Il était petite, les différences d'un ordre plus ou moins élevé devenaient constantes, numériquement, même pour des fonctions transcendantes. Le calcul rapide des quantitésy(jr), f{x -- // V . . . , par la méthode des différences, peut alors révéler, dans un certain intervalle tel queyïj") el/(x-hfi) soient de signes contraires, la présence d'une racine de J{x) = o.

Il y a plus : en supposant /(x) elf(x -:- li) de signes contraires, et en appelant ^ -^ s la valeur de la racine, de telle sorte que /[X -;- s) --' o, on aura à peu près

- h/(T) Cela résulte de la formule de JXewlon

quand on v fait /(x) = o, /o =/(\r), x — Xq ^ £, et que

l'on néglige les termes dépendant de A-, A^

Quand on a découvert un intervalle, /i = A.r, comprenant une racine de /{x) --= o, on peut diviser de nouveau cet intervalle et calculer les valeurs de/(x),/{x— h'),f(x-^ 2//) ,

h' désignant une nouvelle différence de x moindre que /i. Posons

h ■-. Ax, Il = Zx,

fi^ar ~\x)- f{x) -. A/, fix - Zx) - fyx) = 0/,

l/{x - A^) - \/ix) = y-/, o/ix - 0^) - o/(x) = 52/,

Nous allons montrer comment on peut calculer of, o-f. . . en fonction de A/, A-/

La formule (rinlorpolation de Newton donne

AV-f-

Donc

Si A-^ I, ô^'/« = o; siA> 2, o^/î = o et o''n{n — |j.)== o, . . . Pour n = o, on tire de là

*^ Il TOUS '

Voici des fornudes toutes calculées, pour le cas où tx ^ 10 :

0/= 0,1 A/— 0,045 A2/^ 0,0285 A^— 0,0206625 A*/^- • -, o-f= 0,01 A2/— 0,009 A^/-:- 0,0077-25 A^/— . . . , ' o^y = 0,001 A^/— o,ooi35 A'* «< -^. . ., 0^/= 0,0001 A*y — . . . .

Ces formules seront en général suffisantes pour tous les besoins de la pratique.

DIFFfiUEMIKLLKS DES FONCTIONS DUNE VARI.VHLE. II9