I. — Sur les divers ordres d'infiniment petits
Nous avons appelé iiifinimeul pelil toute quantité vai-iable ayant pour limite zéro, et quantité infinie toute quantité variable susceptible de prendre des valeurs aussi grandes que l'on veut.
Pour la commodité du langage, nous distinguerons plusieurs espèces d'infiniment petits. Une variable a ayant été jirise pour infiniment petit principal, nous appellerons infiniment peut du premier ordre toute variable (S telle que
la limite de - soit finie et différente de zéro (luand a tend vers
zéro.
En général, si, a tendant vers zéro, la limite de — est finie
et différente de zéro, on dira que ^ est d'ordre n.
En appelant donc coune quantité finie et différente de zéro, et |j un infiaimcnt petit d'ordre /?, on aura
lim-!- = w
OU
a" £ désignant une quantité infiniment petite; il en résulte
a^î est un inlinnnent petit d ordre supérieur a /?, car —
120 CnAPITRK V.
lend vers zéro. Ainsi, la forme générale criin infiniment pclil d'ordre n est coa" -- un terme d'ordre supérieur à n.
(^uand on parle tlun inlininicnt petit d'ordre supérieur à n. on ne veut pas toujours dire que l'ordre de eel infiniment petit soit déterminé et puisse être évalué numériquement; on veut dire seulement que le quotient de cet infiniment petit par a" est nul à la limite. Cette remarque est importante, car il V a des infiniment petits auxquels on ne peut assigner aucun ordre, mais que Ion peut toutefois considérer comme étant d'un ordre supérieur à d'autres d'un ordre déterminé.
Prenons, par exemple, a pour infiniment petit du premier ordre; a (Ioga)~' ne sera d'aucun ordre : en effet, nous savons
(losa)-» , ... 11.
que* — '~ — ne tend vers aucune limite quand a tend vers zéro,
quelle que soit la valeur attribuée à a, et cependant a (loga)"' est d'ordre supérieur à l'unité.
La considération des divers ordres d'infiniment petits est extrêmement utile en Analyse; elle permet de simplifier des calculs qui seraient sans cela fort longs. Le principe sur lequel reposent ces simplifications peut s'énoncer comme il suit :
Lorsque Von cherche la limile du rapport de deux infiniment petits, on peut, sans erreur dans le résultat, remplacer ces infiniment petits par d^autrcs, pourvu que la limite du rapport de ceux que Von supprime à ceux qu'on leur substitue soit V unité.
En effet, supposons que lim— = i, lim ^, = i . Je disque
En effet,
lim- = lim 1 — — ■'^ ) = lim— lim -; lim 7-
hm^.
Mais on peut énoncer le principe précédent sous une autre forme, souvent plus utile dans lesj applications. A cet effet, observons deux clioses :
DIFFÉRKNTIKLI.ES DES FONCTIONS D LNE VAniABLE. 121
I" Si 1(1 liniile du rapport -, est V unité, a différera de y.'
d'une quantité injininwnt petite d'ordre supérieur par rapport à a et ,3.
En cfTet, la limite de - ('tant i, — difTère de i d'une quanlilé Infinimenl petite 3, cl l'on a
d'où ion lire
La dillerencc entre a et a' est donc a's, quantité d'ordre supérieur à a ou a', puisque le rap|)ort de cette quantité à a' est î, qui, par hypothèse, tend vers zéro. c. q. f. d.
2" Si la différence entre deux infiniment petits a et a' est d'ordre supérieur par rapporta cliacun d'eux, la limite
du rapport -7 est i .
En effet, soit o> la différence entre a et a'; on aura
a — a' -^ w, d'où
Or, 10 étant d'ordre supérieur à a', par définition Uni - =: o. L'équation précédente devient donc, en passant aux limites,
Du théorème démontré tout à l'heure et des deux remarques précédentes découle le principe suivant :
PniActPE FONDAMENTAL. — On n'altère pas la limite du rapport de deux infiniment petits, en négligeant dans l'expression de chacun d'eux des infiniment petits d'ordre supérieur.
En effet, cela revient à remplacer les infiniment petits
122 en A PI TRI- V.
par d'autres dont la limile du rapport à ccu\-ei tend vers l'unité.
Afin de bien faire comprendre le sens et le mode d'application de ce théorème rondamentai, nous en ferons usage j)our trouver la limite du rapport
sina?
pour ^ = 0.
Nous remarquerons à cet elFet que, sin j:" dillérant de x
dune quantité moindre que -7-j c'est-à-dire du troisième ordre
par rapport àx, on peut remplacer sin x par x\ de même, au dénominateur, on peut négliger x-, qui est du second ordre
|)ar rapport à x\ la limite à trouver est alors celle de ou 1 .
En général, si l'on veut trouver la limite du rapport de deux polynômes en x pour jc= o, il n'y aura besoin que de considérer les termes des degrés les moins élevés, les autres ternies étant, par définition même, des termes d'ordre supérieur, et par suite négligeables.
Vi Analyse infinitésimale consiste dans l'application des principes que nous venons d'établir et surtout du principe fondamental que nous avons énoncé en dernier lieu.
