II. — Définition des différentielles

Soienty(x) une fonction de x possédant une dérivéey"'(:r), et \x un accroissement infini ment petit donné à sa variable. On a

OU bien, en appelant £ une quantité infiniment petite avec \x,

DIFFÉRENTIEI-Li: s DES FONCTIONS D'lNE Y\niAnLP. 123

et, en chassant le dénoiiiiiialciir,

ou enfin

Eo désignant un Inliiiiinent petit d'ordre supérieur à Aj7,

puisque Eo = £ A.r, et que -^ = s a pour linille zéro par

hypothèse. En général, /'{./") est fini; donc f\x)^x et Ay(x) sont des infiniment petits du premier ordre qui ne difTcrent entre eux que par un Infiniment petit d'ordre supérieur Eo.

En \erlu de notre principe londamental, toutes les fols qu'il s'agira de trouver une limite de rapport dont l'un des termes sera A/(.r) ou/'(j') \x, on pourra substituer l'une de ces quantités à l'autre sans qu'il en résulte d'erreur dans le résultat final.

Ordinairement le calcul de f'{x) ^x est plus simple que celui de A/, en sorte qu'il est avantageux de le substituer à celui de A/. L'importance de celte substitution est telle, que l'on a éprouvé le besoin de donner un nom à cette quantité J'{x) A.r; on l'appelle la diJJ'érentielle de/iJ").

Ainsi, la différentielle d'une Ibnetion d'une variable est le produit de la dérivée de celte fonction par l'accroissement arbitraire de sa variable.

Cette définition de la différentielle ne suppose pas l'accroissement de la variable infiniment petit; ainsi la différentielle d'une fonction n'est pas nécessairement infiniment |)elile, bien qu'il y ait le plus souvent intérêt à la considérer comme telle. On représente la différentielle de la fonction y' [)ar (lf\ ainsi l'on a

df = f\x)^x.

On voit donc que la différentielle df diffère en général de l'accroissement A/, mais par une quantité du second ordre. Si, cep(ndanl, on avait /'(j:)=r \ ou /(jp) = j: -h c, la for-

124 CnAPITRr V.

mule prccrdcntc ilonnor;iil

df A.r : ^ A/.

En parliciilier, si l'on prend /(^) = ;r, et, par suite, f'{x)=^ I, la formule qui définit r//, à savoir «(/' = /'(./') Ajr, donnera

Ainsi, Vaccroissnmcnt ou la différence et la différentielle de la X'ariablc indépendante sont égaux.

La formule

df-flx,

qui sert de définition à la différentielle de/, pourra donc

s'écrire

df f'dx.

d'où l'on tire

Ainsi, la dérivée d' une fonction est rigoureusement le quotient de la diff'érentielle de cette fonction par la différentielle de sa variable. Nous adopterons le plus souvent la notation -^ pour représenter la dérivée de /. On sentira

plus tard toute la supériorité de cette notation, due à Leibnitz, sur celle de Lagrange, qui est celle que l'on emploie dans les éléments [voir, à cet égard, le paragraphe relatif au changement de variable).

La différentielle df esl une fonction de x; à ce titre, elle possédera elle-même une différentielle (si elle a une dérivée); cette différentielle, d.df, se représente par d-f. La difTérentielle de d-f se représente par <:/y, ... ; et df, d-f, t/'/, . . . sont d'ilesles différentielles première, seconde, troisième,. . . de/. Soit

df = f'dx;

pour avoir d.df ou d-f, il faudra prendre la dérivée de df ou de f'dx, et multiplier le résultat par dx. Or, dx,

DIIFÉUFNTIELLES DES FONCTIONS d'dNE VARIABLE. 125

accroissoinciil arbiliaire \.v de x, est indi'pendanl de .r ou, si l'on veut, esl coiislanl quand jc varie ; la dérivée de f'dx esl done /"(/^' el sa diirérenlielle /"<:/.r. dx ou /"t/j;-. Ainsi

Ci) d^-f=J"dxK

d'où l'on lire

ce qui nous autorise à adopter la notation -—^ pour représenter la dérivée seconde de/.

Pour avoir d.d-f ou la différentielle troisième d^f de J\ il faudra différentier /"t/^-, qui est égal à d-f; pour cela, on en prendra la dcr'i\vc, /'" dx-, et on la multipliera par dx,

ce qui donnera

d^f ==/'"( x)dxK

et ainsi de suite. En général, on aura

d"f^f'^\x)dx>^ ou ^'^-/""(•^).

ce qui nous autorisera dorénavant à employer la notation -T^ pour représenter la «"^^""' dérivée de /.

III. — Remarques au sujet de la formule de Taylor. Reprenons la formule de Taylor, et écrivons-la ainsi :

(,) f(^x~h)-f{x)=.hf\x) -^^^J\x)~-...^r-^^^J"{x^^h).

Elle ne suppose pas la dérivée /i''""^, f"{^)i continue dans l'intervalle qui sépare x àe x -r- h ; elle suppose simplement ([ue cette dérivée existe.

Supposons maintenant que /"(x) soit continu; alors on a

/«(.r :-OA)=/«(r)-£,

£ désignant une quantité infiniment petite avec li ou a for-

126 cil A IM THE V.

tiori a\cc 0/a; on pourra donc écrire la formule ( i ) ainsi :

E„, I dcsinnanl — — < c'csl-à-dirc une nnanLil('' d'ordre su-

périeur à /? (juaiul on su[)pobe // inliiiinicnl pclil. I*^,,^.!, telle

est la forme que l'on peut donner au reste dans la formule de

ïaylor, quand la dernière dérivée employée est continue.

Maintenant, supposons h = A.r; nous aurons

La formule (2) pourra alors s'écrire

Or on a, par définition,

fXx) \x =/' (x) dx =df,

/"(x) \x'- =/" {x)dx^^ d%

f'^{x) \x'> =f'^{x) dx" = d"f.

La formule précédente devient alors

(3) ^f=d/^ J#/+ __i^rfy^..,^^-L<,y^E„„,

E„+i désignant un infiniment petit d'ordre supérieur à^/î, quand on suppose A^ = dx infiniment petit du premier ordre.

Cette formule suppose la continuité de /"{x) quandj la variable reste comprise entre x et x H- dx.

La formule de Taylor est souvent employée sous les formes (2) et (3).

IV. — Comparaison des différences et des différentielles. Nous avons vu que

lim — f"(^).

DIFFfiHKNTIF.I.LKS DES FONCTIONS d'uNE VAniAIU.E. 12-

Oii peul écrire celle formule ainsi :

e désignant une (juanlilé inlinimcnl petite avec Aj: = dx\

d"J dx"

d" f Remplaçons \x par dx el /" par son égal '^^ ; nous aurons

dx"^ ~ iLcn "

ou bien, en appelant E„+( l'infiniment petit d'ordre supérieur à n qui est le produit tdx"^

Cette formule montre que la différence /l'ème d'une fonction est égale à sa différentielle n'^''"^, à un inff.ninient petit près d'ordre supérieur au n'^^^. Les quantités d"f et A"/ sont d'ordre n\ elles pourront donc se substituer l'une à l'autre dans la recherche de lu limite d'un rapport. On a d'ailleurs

hm -■-. = I.

V. ^ Remarques sur le Calcul différentiel. — Son avantage sur le calcul des dérivées.

La difTérentiellc d'une ibnction étant le produit de sa dérivée par la différentielle de la variable, on aura

d.x'" ^ mx'"-^ dx,

dloi'x = - dx\o":e,

de^ = e^ dx.

11 est bon de noter les formules

I d {u~v r- iv ) — du ~ dv — dw , , , ' d(iiviv)^=vwdii^uwdv-\-uvdw.

, u V dit — u dv

120 C a A PITRE V.

Ces formules se démonlrenl en observant que, si Ton divise

par dx^ les quanlilés -t--> -t-> . . . représenlenl les dérivées

u, V, . . • , et qu'alors elles expriment les règles de la dérivation des sommes, des produits, des quotients. Ainsi, par exemple, la formule

(lôrivôe de («ft'ir) -~ vwu' -r- invv' — uv^v' s'écrit, avec la notation différentielle iu^ T" ) '

diuviv] du dv div

— — = vw -j- - uw —, ; inf -f—j

dx dx dx dx

et, en chassant le dénominateur clx^ on a la deuxième formule. Notons encore, pour la discuter, la foi^mule

du du dv dw dx dv dw dx

qui est relative à la dérivation des fonctions de fonctions. Au fond, elle est une identité, mais on pourrait craindre

du . . ^ . I 1 . • . 1 • 1 / '

que -7- n exprimât point Ja dérivée de u considère comme

l'onction de p, parce que v n'est pas variable indépendante; mais, quel que soit le choix de la variable indépendante, il est facile de constater que les rapports des diverses différentielles ne sont pas altérés; en d'autres termes :

Théouème. — Quand on prend pour variable indépendante une fonction quelconque de V ancienne variable, les différentielles des fonctions cjuelconques de l'ancienne variable' ne changent pas de valeur si l'une quelconque d'entre elles conserve une valeur fixe.

En effet, appelons dyU, dyV les différentielles de u et v quand j^ = ^(•^) ^st pris pour variable indépendante, et dxU^ dxV les différentielles de u et v relatives à \x. On aura

dj:U = u'j. dx, dx V = i'u- dx.

Donc

d,U u',. u\ v'r u'y u'y dyV dyU

d.cV ~ V^~ Vy Y'x ~ Vy ~ Vy dy/ ^ dyV'

DIFFÉRENTIELLES DES FONCTIONS d'l'NE VAniABLE. 129

et si dj-'f' = t^^r-i' = (^J^, on obtiendra, en particulier, en faisant V = ./•.

drii dyU , ,

— -, — = - ,— ou (l(U — ClyU.

dx ax

Ainsi, il n'v a pas à proprement parler de variable indépendante, el df se trouve être une quantité <|ui ne dépend pas du clioix de la variable indépendante, tandis que /' varie suivant que x ou y sont variables indépendantes; c'est là un des avantages de la notation difierentielle; il y en a beaucoup d'autres.

On peut d'ailleurs donner des difTérentielles une définition tout à fait indépendante du choix de la variable, et dire que : quand des quantités u, v, (r, ..., x varient simultanément, leurs différentielles sont des quantités finies proportionnelles aux accroissements injiniment petits simultanés de ces quantités u, r, (v, —

On verra plus loin, au contraire, que le choix de la variable indépendante influe sur la valeur des différentielles d'ordre supérieur au premier.

A tout théorème sur les dérivées correspond un théorème sur les difTérentielles, provenant de ce que la dérivée et la différentielle sont égales à un facteur près, qui est l'accroissement arbitraire de la variable. Ainsi :

Lorsqu'une fonction est constante, sa différentielle est nulle. Lorsqu'une fonction a sa différentielle nulle et qu'elle est continue, elle est constante ; etc —

V. — Sur un mode de raisonnement employé dans l'Analyse infinitésimale.

Lorsque l'on cherche à établir une relation entre diverses

différentielles, on peut toujours négliger les infiniment petits

d'ordre supérieur (et, par suite, on aura toujours des équations

homogènes en considérant la lettre d comme une quantité

loO CHAIMinE V.

et d-, f/^, . . . comme ses puissances); le résullat final sera exact.

Une démonstration est nécessaire, non seulement pourétablir ce lait, mais encore pour bien en faire saisir le sens.

Je suppose qu'ayant cherché à établir une relation entre des ditrérentielles on soit parvenu au résultat suivant :

(i) A il\r -■- B dr'- ^,- C dz'^ = o,

où A, B, C désignent des quantités indépendantes de <Ij'. Tous les ternies étant du même ordre, par suite de l'omission des termes d'ordre supérieur au second, ce résultat (i) n'esl pas établi en toute rigueur; cependant je dis qu'il est exact; en effet, s'il était inexact, il suffirait d'ajouter l'ensemble des termes to d'ordre supérieur au second que l'on a négligés et l'on aurait exactement

A d'-y -^ B dx- -ï- C dz- -^ co = o.

Divisons cette formule par dx-, nous aurons

Or, quel que soit dx, on a -y~; = .'S ( T" ) = ^ ' > donc

Ar"-+-B4-C^'2--5^ =(), dx-

résultat exact, quelque so'ildx', mais, pourr/x = o, -j-r, tend vers zéro et l'on a exactement

Af-^ Yi-^Cz" = o;

ou en multipliant par d.r-, que nous supposons quelconque,

Cette formule est donc exacte, et w est rigoureusement nul.

Ce résultat cessera d'être paradoxal, si l'on se rappelle que, quels que soient dx, dy, dz, ..., d-x, d'-y, d'-z, ..., leurs rapports sont déterminés et que les relations entre dx^'dv, ..., devant avoir lieu quelque so'iidx, les termes de

DIFFÉRENTIELLES DES FONCTIONS d'L'NE V.VHIAULE. i3i

iiK-mc degré par rapport à c/x, ou do mrinc ordre, doivent être nuls séparément. II suffit donc d'écrire les ternies d'ordre le moins élevé, qui sont en général les plus faciles à calculer. Le degré d'un terme ou son ordre est indiqué ])ar le nomhrc des opérations effectuées avec <:/, quand une formule ne contient que des différentielles et pas d'autres infiniment petits; il faut donc que les formules d'Analyse infinitésimale soient homogènes en r/, comme si cette caractéristique était une quantité avant pour puissances d-, <:/-', ....

Un exemple va nous permettre d'éclaircir ces considérations.

PiiOBLiîME. — Lu puits cylindrique est plein d'eau ; on paye af V ex tractiondu premier mètre de prof ondeur d' eau, combien pavera-t-on V extraction de Veau sur x mètres de hauteur?

Soit dp Taccroissement du prix p cherché quand la profondeur à extraire croît de dx (je devrais dire : soit \p l'accroissement du prix quand x croît de dx = A.r; je néglige donc la différence entre \p et dp, qui est d'ordre supérieur à dp). Ce prix est égal à la hauteur dx enlevée, multipliée par la hauteur x à laquelle elle est transportée, et par un facteur K qui représente la somme que l'on paye pour élever le poids de i"' de hauteur d'eau à i'"de hauteur, soit Kxdx. (Ici encore, je commets une erreur; la hauteur à laquelle on transporte la quantité dx n'est pas x-^ mais le prix à payer est compris entre les prix qu'il faudrait payer si toute l'épaisseur dx était à la distance x ou à la distance x -\- dx de l'ouverture du puits ; ces deux prix étant K x dx et K(x + dx) dx ne diffèrent que par le terme du second ordre K dx- : l'erreur commise sur Rx dx est donc d'ordre supérieur au premier.) On a donc (a) dp = Kxdx.

Cette formule est rigoureuse, bien que notre raisonnement en apparence ne le soit pas. D'après ce que nous avons

dit tout à l'heure, appelant to l'ensemble des termes du second ordre négligés, on a

dp = K.r d.r -i- to ou -, - = K .r -f- ^- • ^ ax ax

Faisant dx = o, on a />' = Kjc; puis, multipliant par c/j: supposé différent de zéro, on reproduit la formule (a) qui esl

exaote. En vertu de cette formule /> et — ont mêmes dil-

férentielles dp et Ys.xdx\ elles sont donc égales à une constante près c; donc

( 3 ) 7) rr K — -^ c.

On déterminera c en faisant ^ = i , alors p ^= a e\

Si Ton veut déterminer à la fois R et c, on fera x = o et l'on devra avoir /? = o, car un travail nul ne doit pas être payé, et l'on aura

Les formules (Jj), (y), (o) donnent

(7 = — et /? = rt^-.

DÉRIVÉES. DIFFÉRENCES ET DIFFÉRENTIELLES DES FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES.