I. Sur le calcul des expressions symboliques

Oii a déjà vu que l'on pouvait représenter par une lettre un symbole d'opération. Ainsi l'opération qui a pour but de prendre la dérivée de 'C> et de la multiplier par/t sercpn'sente par d-:>. . . . Quand on applique deux, trois lois de suite ro[)éralion <:/, ou l'indique en attachant rex])Osant 2, 3, . . . à la lettre d. Cette règle est générale ; pour donner un exemple de cette façon de procéder, convenons de représenter par le symbole P l'opération consistant à multiplier par j; la dérivée de la quantité placée après le signe P; nous aurons

' ^ ^ dx

par exemple,

Px"' = m.r"', P^ X'" = m- T'" , ..., P«j;'" = m"x"'.

Un symbole P est distribulif quand on a

(I) P(a-~b)=Pa-i-Pb.

Vinsi, en représentant j)ar D le symbol-e de la dérivation, en sorte que Dz, ^= '■:>', on a

D(a-+-6)= D(a)-\-D{b), l{a-~b) = \a-hlb.

d(a ^r- b) = da -^ db ;

D. A, d sont des symboles distributifs.

j34 chapitre VI.

Les symboles dislribulils sonl les plus iniporlanls cl nous allons suivre les conséquences de la formule (i).

i" D'abord on a

P(„^^,-^c)= P(«4-i»)---rc = Va + Vb^Vc,

et (linsi de suite. Donc, en général,

(2) P::a = ZP«.

2" Les symboles P-, P', ... sonl distrihiilifs; on les appelle puissances de P.

En eflTet, on a

\\a -^ b )^= Va -f- 1*6;

donc

P2(a + 6)= P(P«--PZ*)=P.Prt-nP.P^',

c'est-à-dire

On verrait de môme que P^, P', ... sonl dislribulils.

3" En appelant A une constante numérique, on a

\\\a = \.Va.

En effet, si A est entier, on a

P.Âa = P((7-i-«-T-...-h^a)= Pa-}-P«...= APa.

Si A est de la forme —? on observera que 7 '

donc

et, par suite,

g? - = Pa;

P^ = lPa, 7 '7

(^cllc proposition étant vraie, quels que soienty>et </, est vraie pour les valeurs incommensurables de A.

4" On a

P(o — 6)= Va — Vb,

FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES. l35

car on en déduiL

P{a — ù)-{- Vb = Va,

ce qui est exact, et de celle-ci on déduit la précédente. 5" On en conclut

r{.\arzBù±... ) = \VadzBPb±:....

On appelle somme de plusieurs symboles d'opérations P, Q, R, et l'on représente par P -{- Q + R le symbole 0 défini par la formule

ea = Pa-i-Qa-T- l\a.

En général, le symbole 0, défini par la formule

ea =z APa lir BQa nh GRa,

se représente par AP rb BQ in CR; de sorte que l'on a, par définition,

( AP -r- BQ)« = AP« — BQ«.

(i" Lorsque P, Q, R, . . . sont distributifs, AP ii= BQ ± CR l'est également.

En effet :

^AP:^BQ — CR)(a-T-^')= AP(«-^ 6; d= BQ(a ^ 6j :^CR(rt — /v ) = APa-+- AP6±BQa±BQ6±...

= (APzhBQ±CR)a-i-(AP±BQ±:GR)^*.

On appelle produit de plusieurs opérations le résultat obtenu en effectuant successivement ces opérations. Ainsi l'opération 0, définie par l'équation

Qa^- PQR...f/.

est le produit des opérations P, Q, R, On représente cetle

opération par le symbole PQR, . . . , dans lequel il faut bien se garder d'intervertir les facteurs; dans la suite, pour exprimer que deux opérations sont équivalentes, nous les séparerons par ce signe =. Ainsi 0 = P H- Q voudra dire que, quel «lue soit/, on a 0/= (P + Q)/=: P/+ Q/.

Deux symboles P, Q sont commutati/s quand on a

PQ/=QP/.

'f Si P e; Q sont commuta tifs, on peut écrire dans un ordre arbitraire les symboles P ef Q répétés dans un ordre donné.

Par exemple, considérons l'opération