PQ

dans laquelle les points remplacent les lettres P, Q écrites dans un oi'dre quelconque. Je dis que

...PQ.../=^... QP..../;

les deux membres ne différant que par les opérations écrites.

En effet, on a

PQ.../= QP..../;

car P et Q sont commutatifs ; répétant sur les deux membres

de cette identité les mêmes opérations, on obtient des résultats

identiques :

...PQ.../ = ... QP.../;

puisque Ton peut intervertir l'ordre de deux opérations consécutives quelconques, on peut écrire toutes les opérations dans tel ordre que l'on veut. La même démonstration s'appliquerait au théorème suivant :

8"" ^Sf P,Q,R, . . . sont commutatifs, deux à deux, onpeut effectuer ces opérations successives dans un ordre quelconque.

9° Si P et Q sont commutatifs, il en est de même de P'e/

10° SiV, Q,R, . . . sont distribut ifs, le produit PQR . . . le sera aussi, que P, Q. R-, . . . soient ou non commutatifs deux à deux.

En effet,

R(a-^6)= Rrt- Rè.

Mais, Q étant distributif, on a

QR(a — èj = Q(Ra - R6) = QRa -^ QR6,

puis

PQRfa-f bs= P(QRa--QRè) = PQRa-^ PQR6.

11° La puissance m'"'"'^ du symbole (P -i- Q H- R) sejorme absolument comme siV, Q, R étaient de véritables quantités. uJiiisi

pourvu que P, Q, R, ... soient commutalifs. En effet, on a

ii^ + Q)^/=(i*-^Q)(P-Q)/

ou

(P ^ Q)2y= (p + Q^(py+ gy^ ^ P(P/+ q/, + Q(P/-- Q/) = P2/+PQ/--QP/-f-Qy

car PQ = QP, par liypolhèse. Posons, pour simplifier, P + Q = 0, et admettons la formule

comme démontrée; effectuons sur le premier membre l'opération 0 et sur le second les deux, opérations successives P et Q, puis ajoutons les résultats; nous aurons, en observant (jue P et Q sont commutatifs,

H" -'/= P"-'/^- C,' P«Q/-^ C;P''-'Qy— . . .

ou, en vertu des propriétés connues du svmbole C,„, «"-'/= P«-'/-C,:^,P«Q/^C^,,P«-»QV-.--

La loi étant démontrée pour l'indice n l'est donc pour l'indice n ~- i\ or elle est établie pour les indices 1,2; donc elle est générale. Soit maintenant

on aura, en posant Sff= P/+ Q,A

ev- 8'.'"'/- C',0'-iR/- . . . - -^0-^R' /■- • • -

ou

l38 CHAPITRE VI.

Cl, remplaçant S^ par sa valeur ^^--VtttP^Qi^ /,

Remarques au sujet des dérivées des fonctions de plusieurs variables.

Considérons une fonction de plusieurs variables x, y, z, sa\o'\r f[x, y, z). Cette fonction devient fonction de x seul, quand, laissant^)' et :; constants, on fait varier jc. Ace point de vue, elle peut être difïérentiée une, deux, trois, ... fois, et nous

,, . , df d-^f d^f .,,

représenterons ses dérivées par -j- -, -y^^ y^> — L.liacune

de ces fonctions, -^-4' par exemple, dépendra en général de .r,

de r et de z\ si on laisse ^ et ;; constants, elle sera fonction de r et l'on pourra, par exemple, en prendre la dérivée ^ fois

de suite. On écrira le résultat ainsi , ^ ; ,.; cette fonction

dépend encore en général de x, j)', z. On peut en prendre la dérivée y fois de suite par rapport à x ; on aura alors

d'^+'^'-^'if • -. f • 1 • . < -1

-j ^ •' ; puis 0 lois de suite par rapport a z, ce qui clon-

nera — s? et ainsi de suite. Cette notation se sim-

dx^dy^dx'dz^

plifie un peu en ayant égard au théorème suivant :

Théorème. — Une dérivée ne change pas de valeur quand on intervertit l'ordre des dérivations relatives à chaque variable.

Démontrons d'abord le théorème pour le cas oii l'on n'intervertit que l'ordre de deux dérivations successives. Soit/(^,j) une fonction de plusieurs variables, dans laquelle on ne met en évidence que les variables x et jk- Soit

f df df d\f d\f

f'^Tx' J'-Ty' J^'^dx^' ■'''~W

•^*2~ dxdy' -^^ " dydx'

il s'agit de prouver que /,2 = fn- Si h et le sont clcu\ valeurs infiniment petites de même ordre, on a, par la formule de Taylor,

E.-, désignant un terme d'ordre supérieur au seeond. Dévelop- ^Lmsf{x, y + k), f^ {x, y + k), J\^{x, y -{- k) suivant les puissances de A; nous aurons, en appelant toujours E3, E.', , ... des termes d'ordre supérieur au second,

if(^x^h,y- k )=/{x, y ) -^ k-Mx, ^- > -^ — ./22 ( ^, y) ^ E3 I ^hf, (X, y) -^ h kfn(T, y) -^ K

En commençant par écrire

/{x + /i,y - A) = fix^k, y)^kMoc H- h, y)

puis en développant /(> -|- A, )i, /o(j" -}-/<, j),/22('^ -i-^'i J,> suivant les puissances de h, on trouve

A^r - h, y -r- k) = f{x,y) -^ hf, {x,y)^ tJJ''^^^'^'^ "" ^'

-^ l^f-2 i^, y) -+- /<h fnix,y) + e"

Si Ton compare cette formule avec (i), on a

y,., /.// =fn kll -r- W,

(o désignant un ensemble de termes d'ordre supérieur au second. Divisant par Iik. on a alors

El, comme j-rtend vers zéro pour // = o, k = o, il reste

fn =/n, ce qu'il fallait démontrer.