I-jO CHAPITRE VI

Il est clair que ce ihéorème cesserait d'être exact, si luni' •les dérivées secondes de /(x, )) n'était pas continue, la formule de Taylor, sur laquelle nous avons fondé noire démonstration, cessant elle-même d'avoir lieu.

En suivant une mélliode employée en Arithmétique pour démontrer que la valeur dun produit ne dépend pas de l'ordre de ses factcui's, on prouvera que, ayant le droit d'intervertir Tordre de deux dérivations successives, on peut intervertir aussi l'ordre des dérivations d'une façon arbitraire.

Cela posé, pour représenter une dérivée d'ordre supérieur prise relativement à plusieurs variables, on pourra se borner à indiquer le nombre total des dérivations relatives à chaque variable. C'est ainsi que l'on écrira, par exemple,

d-xdydz drdydzdx

RT ^ ^ d d d . ' • ,.

EMAROVE. — Les svmboles-T-7 -r-^ -r- sont commulatils

dx dy dz

et distributifs. On adonné le nom de àéT\\ées partielles à ces dérivées prises successivement par rapport aux diverses variables en laissant les autres constantes, pour les distinguer de ce que l'on appelle une dérivée totale.

Supposons que, àd^ns f(^x^y, z), les variables j', v, z cessent d'être indépendantes, et que >'et z soient fonctions de jr; d'après le théorème des fonctions composées, la dérivée de/ relative à .r, que nous appellerons dérivée totale relative à x, sera donnée par la formule

d£ d/ ^l}i ^i[f d± dx dy dx dz dx

Cette dérivée, d'après nos notations, devrait être représentée

df ... . p . . ,, , . .

par y-; mais il y aurait contusion si 1 on écrivait

df

df df dy

df dz

dx '

dx dy dx

dz dx

car les deux -^figurant ici ne sauraient être égaux ; on a pro-

posé plusieurs moyens d'obvier à cet inconvénient. L'un d'eux consiste à envelopper d'une parenthèse les dérivées partielles ; l'autre, qui paraît j)lus généralement répandu, consiste à changer dans les dérivées partielles la forme du d. La formule précédente s'écrira alors

a -'IL ^ 'IL 1'' ^ '^/ 'Il dx Ox Oy dx ôz dx

Il importe de bien voir que -j- diffère de -p; il importe surtout de bien voir que les trois dj qui figurent dans cette

formule sont inégaux, ce qui fait des svmboles -r^ > ^-» •••

^ ' \- -^ Oy Ox

des quotients dont on convient de ne jamais chasser les dénominateurs; et d'abord -5^ est le rapport des accroissements que prennent y" et x quand on fait croître x de dx^ et que par suite ) croît de dy et z de dz\ tandis que -p est le rapport

des accroissements infiniment petits de f et de :r, quand, faisant croître x de ùx^ on laisse y et .3 invariables.

Le df qui entre dans -y- est l'accroissement que prend J

quand x croît de dx, y et:; restant inv^ariables ; le df qui

figure dans ~- est l'accroissement que prendy*quand, x cessant

de varier, y seul croît, et de dy\ ces deux df sont donc inégaux en général. (Il est presque inutile d'ajouter qu'il s'agit d'accroissements infînimentpetits et que l'on néglige les termes du second ordre.)