III. — Formule de Taylor généralisée
Si l'on considère la fonction de t
o(f) =f(x — ht, y -^ kt, z ~ It),
cette fonction pourra être développée par la formule de Maclaurin. Pour effectuer ce développement, formons ses dérivées successives; nous aurons, par le théorème des fonctions
l42 CIIAIMTUE VI.
composées, ol en laisaiil, |)()ur abréger, ,r -f- /// l— h,
y 4- la = b, z h It = c,
ainsi ropéralion -7- est équivalente à
oa Oo t)c
On aura donc
et pour / = o,
' ■ \ ()x ()y ôzj •'
Nous aurons donc, en substituant cette valeur dans bi formule de -Maclaurin
fi /n + l o(t)= 'i(o)-t- to'(o)-: o"( o)-T-. . .-. (i«+l(0/),
l'égalité suivante :
J\x -+- ht, y -h ht, z ^- li )
i .A. . . /i \ c/^ ây OzJ •'
et, si Ton lait ^ = 1 ,
Le reste est écrit sous une forme abrégée qui se comprend facilement : après avoir fait l'opération
\h i- A" 1-... fix.y.z).
on remplace x par x -4- 0//, >' par j- -+- 0 A-, et z par z -h 0/. La formule précédente suppose <f{t) continue, ainsi que ses n premières dérivées, cjuand t varie de o à i . La (/? -}- i j''"" dérivée doit être bien déterminée : ceci revient à supposcry(x, )', z) finie et continue, ainsi que ses n premières dérivées, quand les variables restent comprises entre jc cl jr -\- h, y et )' + /»■, :; et ^ -\- l. Les (/? + i )'»'"" dérivées doivent exister et être bien déterminées ; si l'on ne sait rien sur les (/? + i j' '"'-^ dérivées, le reste affectera la l'orme E„^, d'un infiniment petit d'ordre supérieur à n par rapport à A, A", / su[)posés de même ordre. On remarquera surtout la formule
— kfi ( .r + 0 A, j -^ 0 A-, c — 0 / ), -t- lj\ {x -~ Oh, y -w 0/.-. ^ ^- 0 / ),
OÙ/, (.r, r, z), f^ {jc,y^ z),J'-:iix, y, ^)désignent, pour simplifier '^^ '-^ '■''
Considérons une l'onction de plusieurs variables que nous supposons, pour fixer les idées, au nombre de deux. Soil
cette fonction ; si l'on donne à x et j- des accroissements simultanés \x, \y, cette fonction varie d'une quantité que Ton appelle la différence de cette fonction; on la désif^nc par If. Nous poserons
f,i = /( x—n:^x,y-\-n\y)\ nous aurons alors
l44 CHAPITRE VI.
A/est, en général, fonction de x et r, clTon pose AA/'= A^/; A^/* s'appelle la difft'vence seconde de /, et l'on a
A Vo :- A/, - A/o, A2/, = A/, - A./', , . . . ,
et ainsi de suite; les formules auxquelles on est conduit sont identiques à celles que l'on rencontre pour le cas où la fonction/ne dépend que d'une seule variable, et il est inutile, d'après ce qui précède, de donner une nouvelle démonstration des formules
Mais, à côté de ces différences, que l'on peut appeler complètes, viennent se placer une série de différences auxquelles on a donné le nom de différences partielles et dont nous allons dire quelques mots.
Dans la fonction/, on peut laisser )' constant et faire seulement varier x\ f 'a alors, par rapport à cette variable, une série de différences que l'on indique par un indice; ainsi l'on pose
^.r /( a-, 7 ) = /( ^ -4- A.r , r )—f{x,y ), Al/(^,7)=/(^--2A.r,7)-2/(.r-4-A^,r)H-/(^,r), ■)
on a de même
VA-^'J) =/(^, j -- V) -/(^. J). • • • •
Il n'y a là rien de nouveau, car, dans cliacun des cas où l'on ne fait varier que x ou que ^', on n'a réellement affaire qu'à une fonction d'une seule variable; on dit que A^/, A^/, . . . sont les différences />«/'^ie//e5 de /relatives kx.
Les signes A^ et A^ sont conimulatifs et distribiitifs : il est évident qu'ils sont l'un et l'autre distributifs, et, si l'on fait attention que A^A,/ est égal à
-^x [/( 3^, >' ^- A j ; -/( .r , 7 ) ] , ou à
/(^ ~ A^,7 -;- A7) —/(.?•-•- A^,7^^/(j:-,7 -f- Aji')-;-/(-^. 7)»
on verra sans peine que la syniélrie de ce résultat entraîne la Ibrmule
ce qui est la propriété fondamentale des symboles comniutatifs. Posons, [)Our abréger,
/(x,y)=foo, ..., f{x-^i\x,y-{-j \y)=/ij, ...;
nous aurons
et, en prenant [3 fois de suite la différence relative à )',
Si l'on désigne par Sj; l'opération qui a pour but d'ajouter A r à la première variable figurant sous le signe /, et par S,- Topération qui a pour but d'ajouter Ay à la seconde variable, en sorte que
on pourra écrire
les signes Sj.- et Sj étant évidemment commutatifs et distributifs, on aura
^1-/oO = ( S.c I )"/u()
ou, si l'on veut,
et par suite, en général,
a:, a?. . . . Al = (S^-iy(Sy-iy.. .{6^- l)>.
On peut résoudre la question inverse et trouver fij en fonction des différences dey. On a en effet
//o = (n-A^)'/oo, et par suite
//,y = (l-^A,.)'(I^-Ayy/oo, et en général
sis^. . . . sf = (I -h A^)'(n- A^y. . . (. - A,y-.
l46 CHAPITRE VI.
Nous ferons observer que l'on peut déduire de là une formule d'interpolation analogue à celle de Newton et que l'on pourrait même appeler formule de Newton généralisée ; cette formule serait
/(X, Y ) =j\x,y)-^.. .-i- CLcif{x+i\x,y +y Aj)4-. . .,
dans laquelle il faudrait remplacer a par '-— — et j3 par
Enfin, en terminant, nous ferons observer que la limite de
A°.A^./oo divisé par Aj^^Aj'^ est la dérivée -—^:—y On pourrait
démontrer cette proposition directement à l'aide du théorème de Taylor, mais on peut aussi observer que, Ajc et \y étant tout à fait indépendants, on peut les faire tendre successivement vers zéro; on a donc
,. A^-A^/" d^A^/" nni .';'■: = . „ / :; pour \x = o, A.r'^Aj-'^ âx'^\y? '
et, faisant tendre Ay vers zéro, on a la formule qu'il s'agissait d'établir. Mais cette démonstration est peut-être moins rigoureuse.
Formules d'interpolation pour les fonctions de plusieurs variables.
Nous avons observé, au paragraphe précédent, que la formule qui donne la différence d'une fonction de plusieurs variables en fonction de ses différences peut servir à généraliser la formule de Newton. La formule de Lngrange peut être également généralisée comme il suit.
Soit, pour fixer les idées, /(^, J') une fonction de deux variables ; la formule de Lagrange donne
y^ (X — Xj)...(x — 3V-1 ){x — .r/4-1 ) . . .
jÊmà {^Xi — Xi). . .(Ji — ai-ij^Xi — J",4-i I. . .
X,, x-ii •••, -C/j+i tlésigiiant des valeurs arljilraires de x\ cette formule approchée; devient exacte si/ est une fonction entière par rapport à a: de degré n ; or on a
formule exacte si /est entier et de degré n par rapport à y. Si l'on combine les équations (i) et (2), on trouve
^ (y — 71 )• • • i.r ~yj-x)(y — .ry+1 ) • • • ^
(yj —yo- ■ ■ iyj —yj Oiyj —yj^i )•■•'
el Ton voit facilement comment on pourrait encore généraliser. Si l'on pose
(x — xi){x — a-o) . . . {X — Xn+i) = o{x), (y - r, )(y -y. )... ij -yn^i ) = 'Hy),
on peut écrire ainsi qu'il suit la formule précédente :
ou
fj-r^r^ ^ Y y .f{^i,y.i)
':.{xvb{y) À^^'ii\xi)^'{yj) x — xi y—y/
Les deux membres de cette équation sont développables suivant les puissances de x ei y\ en égalant de part et d'autre
les coeflicienls de — ? on trouve xy
Si/ est de degré moindre que /i, la quantité to est nulle.
