VI. — Différentielles totales
On appelle différentielle totale, ou simplement différentielle d'une fonction de plusieurs variables, la somme des
l48 CHAPITRE VI.
produits obtenus en multipliant la dérivée de la fonction par rapport à chaque variable par un accroissement arbitraire donné à cette variable.
Soit, par exemple, /{■(', ^', z) une fonction de trois variables :r,^', Z-; la différentielle totale de/, que l'on représente par ûÇ/", sera définie par l'équation
Ajr, A]', A:; désignant trois accroissements arbitraires et indépendants donnés à x,y, z respectivement. Si l'on prenait tour à toury= x., f=r, f = z, la formule (i) donnerait, en
observant que -r- est égal a i, que j- est égal a zéro, etc.,
dx = \t, dy = At, dz — A:;,
ce qui nous autorise à écrire l'équation (i), qui sert de définition à df, ainsi :
df = -f- dx 4- -f- dy -h -f dz.
•^ ox oy '^^
Si, comme on le fait toujours, à moins de prévenir expressément du contraire, on suppose les accroissements dx = Aa;, dy =^ !:>.)., ... des variables de même ordre infinitésimal, on pourra énoncer le théorème suivant ;
Théorème fondamental. — L'accroisse?nent que subit une fonction de plusieurs variables, quand on donne des accroissements de même ordre à ses variables, est, aux infiniment petits d^ ordre supérieur près, égal à sa différentielle, et par suite, dans une limite de rapport, l'accroissement d'une Jonction peut être remplacé par sa différentielle sans changer le résultat.
En efi'ct, si l'on désigne par /(.r,j', 5) une fonction de x^ j', ;;, on aura par la formule de Taylor
A/ ou f{x -^ \x, y 4- ^y, z -\- \z)—f(x, y, z)
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES. l4<)
Eo désignant un infiniment petil d'ordre supérieur au premier. Celte formule peut s'écrire
\f -^ df-^r- \ii,
ce qui démontre le théorème.
La difierenlielle df d'une fonction de plusieurs variables fix, )', Z-) est une fonction de x., y^ z\ elle possède, à ce titre, elle-même une différentielle totale que l'on désigne par d'-f\ cette diflerentielle d-J\ à son tour, possède une différentielle totale que l'on désigne par d^f, et ainsi de suite
Calculons la dijj'érentielle totale seconde d'-f (\c f; on a
le svmbole
clf^fcU^%dy-^fchdx dy -^ dz
d = — dx - - — dy -T- ^ dz,
dx ôy ^ dz
somme des symboles -—dx, -z-dv, -—<:/:?, est commutatif <"t
"^ ôx ' dy " ' ôz '
distributif comme ceux-ci; on peut donc écrire
r^) d-/=(^^dx-^^^dy-^-dz)/,
et en général
Je n'ai pas besoin de rappeler que l'équation (2) développée donnera
di f=^dx'--^i -^ dx dy + ^4{dy^dx- ôxOy '' dy^ ''
-\- 2 - — — dx dz -4- 2 — -^ — dy dz -\- — ^ dz-, ôx ôz ()y dz ^ dz-
formule que Ion peut vérifier directement sans faire usage du calcul des symboles, et dans laquelle il ne faut pas perdre de vue que x, r, ;; sont des variables essentiellement indépendantes, caractérisées par ce fait que f/.2;:= A:c, dj- ^ Av', ... sont, chacun en particulier, tout à fait arbitraires et par suite indépendants des variables x, y, z elles-mêmes.
11 résulte de là une notation très commode pour écrire la
100 CIIAPITKi: VI.
formule de ïavlor;/(a- + dx,y + <:/)■, :: + dz) — J( x,r, z) étant représenté par A/", on a symboliquement
A/ = -- dx — - - cl y ^ —dz
•' ôx dy - itz
l— dx^ —dy ^ —
\ .-i \dx Oy (iz
c'esl-à-dirc
( "T dx -r- -j-dy -7- .- dz] /'
\f)x dy -^ <)z I •
E,,^, désignant un terme d'ordre supérieur à //.
On a vu que
A«,A^./ à-^^f lim — - — -^ = -^,
d'où l'on conclut que ^%M- peut être substitué, dans les limites de rapport, à » '^ dx" dj^ ; mais ce théorème a beaucoup moins d'importance que celui-ci :
TnÉoiiiiME. — Les quantités d"/ et 1"/ sont égales, à des termes près d'ordre supérieur à n.
La difTérence et la différentielle totale d'une fonction peuvent donc se substituer l'une à l'autre dans les calculs de limites de rapports. Pour le prouver, observons que
en développant chaque terme par la formule de Taylor, mise sous la forme
on a
' • 1.2 •' I . 2 . 3 . . . rt "^
- c;,(n - iw/— c;, ^" — '^' dH— . . .
• ^din-iy^df-^Cl ^-^^1^ d\f -i - . . .
I.es coefficlenls de dj , d-f^ . . . sont nuls, celui de d"/ est ('gala lunité, comme on l'a vu j)his bauL (p. 102); on a donc
^«+1 étant un infiniment pelil d'ordre supérieur à n.
VII — Calcul des différentielles partielles.
La différentielle totale d'une somme est égale à la somme des différentielles totales de ses parties et, plus généralement, an + bi' + civ -\- . . . , a, b, c désignant des constantes, a pour différentielle totale
a du -=- h dv ^— c dw -^ . . . .
En effet, pour prendre la différentielle totale de
au -^ bv -^ civ -^. . . ,
il faudra prendre ses dérivées relatives aux vaiùablcs indépendantes et les multiplier par les différentielles de ces variables, puis ajouter. Ainsi, :c,v, z. . . . désignant les variables dont it, i', ... sont fonctions,
fJ(au-^ bi'-^ . . . ) , f)(au-^bv-r-. . .^ ,
dt au^- bv ^ . . .)— — — ■ dx — dv — . . ..
Ox Oy
OU
d{ au -\- bv —...)=( a -. b '-. .. ]dx
^ Ox Ox '
du , dv b -—
-^i a — -^b~-h... \dy
a( au -— bv -h . . . ) = a -— dx -~- a — dy -^ . . .
' dx Oy ''
-^ b -— dx ~- b -— dv — . ■ ■
dx dy -^
OU enfin
di^au — bv ~ ...,) = a du -r- b dv -r- . . . .
l52 CHAPITRE VI.
De? même, on a
d{ fn'iv . . .) = «"' • • • du-+- J/(ï' . . . dv -\- . . . ,
ou
</( uviv . . . ) ^" ^'' '^"'^ i/rir ... « i^ n' ' ' "
en cli'et, on a
d( uviv ) = —^-^ dx -1- -!^-T dy-^...,
^ dx oy
I au dv 1 ,
d( uvw ) = ( vw ■ • ■ -. — ;- «"' • • • T": "^ • • • i^^-^'
du dv
dy dy
dy
I UU - IIU. , \
= vw . . . \ -r- dx -+- — dy -\- . . . I
/du - du.
\dx ^ dy
-h mv . . . — - rf.r 4- -— rfr + . . \du dy
c'est-à-dire
d{u.VAv . . .) = vw . . . du -i- Uiv . . . f/r -;- uv . . . d<.v
On verrait de même que
, u V du — u dv d— — ;
On a aussi
d'^iu) = 'j^'{u)du,
do , do , doiu, V) — — ^ du -1- --^ dv,
' ' ' du dv
en effet,
/ do du d'j dv \ ,
■^ ' ' ~ \àu dx dv dx " ' )
\du dy dv dy /
OU
</ci(M, v) = -rr- du -\- -^ dv.
FONCTIONS DE PLUSIEURS VARIABLES. l53
VIII. — Principes fondamentaux pour l'application du Calcul différentiel.
Lorsque l'on veut établir une relation quelconque entre fies diJU'érentiellcs, on peut toujours négliger, vis-à-vis des termes d'ordre le moins élevé, les termes d'ordre supérieur, pourvu que les termes conservés ne contiennent pas d'aut/es i/ijiniment petits que des différentielles.
En effet, supposons que, en négligeant des infiniment petits du second ordre, on soit parvenu à des formules telles que
A (la -+- B dv -T C dw -!- ... = o ;
celte formule étant vraie aux termes du second ordre près, la suivante sera rigoureuse :
A du -^ B dr "■- C d(v -»-... -l- s = n,
£ désignant un terme du second ordre; et l'on pourra écrire, en divisant par dx,
. du di> z
dx dx ' ' ' dx
du, dv, .... dx étant de même ordre, soit
,. du , ,. dv ,
nra-r- =^ u , hm—r-^=v, ....
dx dx
Quelques-unes de ces limites sont arbitraires, mais, par cela même, on peut les supposer finies, en supposant, par exemple, que l'on assujettisse momentanément toutes les variables indépendantes à recevoir des accroissements égaux à dx,
tandis que -j- tend vers zéro : si bien que, pour dx = o, on a
A ii' -i- B v' -i- C tp' -4- . . . = o, d'où
A u' dx -{- B v' dx — G w' dx -- . . . = o ;
mais u! dx, v' dx, w' dx, . . . sont rigoureusement égauv kdu. dv, dw, . . . , car u' est égal à -7-> que dx soit infiniment petit
154 cnAPiTRr: Yi.
ou fini : 011 a donc
\dit -+- B^.' ;- Cdiv -i- . . . = o.
Celte égalité était donc rigoureuse.
Si la quantité Q , + ^2 + fis 4- • • • + ^m + ^ ("^t (V ordre m-\-\^ Q,, Qo, ..., Q,„ étant respectivpmcnt cVordro 1, 2, . . . /;?, et t d'ordre m + \, 5iQ,, Q^? • • • ''^ contiennent d'autres infiniment petits que des différentielles et sont homogènes par rapport à la lettre d, on a
En effet, d'après ce que nous venons de voir, on aura l>i = o aux termes du second ordre près, et par suite on aura rigoureusement Q, = o; donc on aura Qo ^ o ^"^ termes du troisième ordre près, et par suite rigoureusement Qo = O- En continuant ce raisonnement, on voit que l'on aura séparément
Ces principes sont fondamentaux dans les applications analytiques ou géométriques du Calcul différentiel.
IX. — Remarques au sujet des différentielles totales des différents ordres.
Soient X et y deux variables indépendantes ; on a par définition
quand x et y deviennent fonctions de t, la relation précédente a encore lieu, en vertu du théorème des fonctions composées; seulement df, dx, dy n'ont plus le même sens. Ceci s'explique : dans les deux cas, on représente par c// l'accroissement que prend f quand x ci y prennent des accroissements dx^ dy^ et la seule différence est que, dans l'un des cas,
FONCTIONS DE PI.ISIEURS VARIAULES. 100
dx, dy sonl indépendants l'nn de l'autre, et que dans l'autre
cas— est égal à -j» les dérivées étant prises par rapport à /;
les termes du second ordre sont, bien entendu, négligés.
Mais d-fnc reste plus le même quand dx et dj- sont indépendants, ou quand ils sont liés l'un à l'autre. En efTet, dans le cas où dx, dj sont indépendants l'un et l'autre, ils sonl arbitraires et considérés comme constants; mais, s'ils sont lonctions d'une même variable, ils doivent subir la difTérenliation relative à celte variable, ainsi l'on a
d- f = — — dx- -^ 2 — '- — dx dy -^ --{ dy •' Ox- OxOy - dy- ^
si X et y sont indépendants, et, dans le cas contraire,
d-f= — — dx- -4- 2 — = — axay -^ —^ dr- - — — d-x -, — — d-y; ■' i)x- iJx'Jv -^ (h"- ' Ox <)y -^
si X était variable indépendante, d-x serait nul, et le terme
