X. — Des fonctions dont la différentielle est nulle

Lorsque ladijfférentielle totale d' une fonction est nulle, cette fonction est constante, et cela pour tout V intervcdle où la différentielle reste nulle, pourvu toutefois que la fonction ne soit pas discontinue.

En effet, soit / une fonction des variables x, y, z, ... ; si l'on a df ^ o, on aura aussi

àf , ^df , Of ,

-^ cte -i- -f- dv -^ -f- a- -r- . . . = o,

dx ôy -^ Oz

et, dx, dy, dz, . . . étant indépendants, il faudra que Ion ait

/ ^ df df df

l56 CHAPITRE VI.

or la dérivée —- est prise en regardant j' et z comme des constantes; la formule -^ : o nous montre alors que/est indépendant de X, mais il peut contenir j^ et z^ qui y sont regardes comme des constantes; l'équation

dx a donc pour conséquence

y =: fonction de r. z, . . . mais non de x.

) f Mais, quand à cette formule -j- — o on adjoint les autres formules (i ), on voit que /est indépendant non seulement de a\ mais de j', z, ... ; donc / n'est pas à proprement parler fonction de ses variables : c'est une constante.