I. — Préliminaires
Considérons le déterminant
Si l'on désigne par ô un signe de différentiation pris en considérant les éléments de ce déterminant comme des variables indépendantes, le symbole
dd da,j
sera le coefficient de <7,y dans le développement du déterminant 0, de sorte que, en appelant a/y le mineur obtenu en supprimant la i""*-" ligne et la y'"™" colonne, on aura
ôe
de même
ÔClij'
sera le coefficient de aijahi dans le déve-
loppement de 0, et cette dérivée sera, au signe près, le mineur de 0 obtenu en supprimant la r'"'" et la /,"'°'= ligne et
layitnie gt \^ /irme colonnC.
On voit ainsi que les déterminants mineurs des divers ordres de 0 peuvent être représentés, au signe près, par les
DÉTEUMINANTS FONCTIONNELS ET FONCTIONS IMPLICITES. l5()
dérivées de ce même déterminant prises par rapport à ses éléments.
Théorème I. — On a
de
an -.
dttji
de
-ai,-—- -H Oaji
de
dajn
1 o si i \ j, \ e SI i=j;
de
de
'- a-ii
(ki-ij
de
. .. : Uni , =
da„j
( o si t ;;■ y,
( e si i — J.
Théoivè.me II. — On (I
dccij dai;i doii da^j
En effet, le premier membre représente le déterminant mineur obtenu en effaçant les lignes d'ordre i et A' et les colonnes d'ordre y et /; le second également, et cela au signe près. Or, en échangeant dans 0 les colonnes d'ordre j et /, ce
déterminant change de signe; t ; — j dans ces circonstances,
» ° ' daijdaki
est remplacé par -; ; — • : ces deux déterminants sont donc
i 1 dan da^j
de signes contraires.
TnÉORliME III. — On a
dttij da i,j dttij dai /
car 0 contient au premier degré seulement les éléments d'une même ligne ou d'une même colonne; ciijakj ne peut donc entrer dans la formation de 0.
