III I I
wi 3 î II "' Il -,- i
est convergenle. En général :
Théoiièaie n. — Si dans une série les termes sont, à partir (le l'un d'eux, indéjiniinent décroissants jiistju' à zéro et alternativement positifs et négatifs, cette série est convergente.
En efTet, considérons la série
Ml -r- «2 ■ • • • Il II ''« + 1 - - ll/t-h-l ... : - 11,1^/,.— Un+p+i m . . . ,
dans laquelle les termes sont indéfiniment décroissants et altcrnalivement positifs et négatifs à partir de u,i.
Appelons, en général, S„i la somme des /n premiers termes de la série. Si nous remarquons que les lermes \ont constamment en diminuanl, les (jiianlilés
"'/ ''/J+l) U,iJ--2 «,iH 3, • • -, Uii-hiii — l-l'n<r1i> + \
TIIÉORIK (if;.Nf- KAI.K DES SÉIUES. |5
seront loulcs posili\cs, cl, par ci)ii>L'([uent,
( I ) ^ii-^l -'^ «3/1-1-3 ■ - ^/l-f-5 ■ ^ • • • - ^«-t-2/>t-l • • • ^
les quantités — ««+i -r //«+-, .-.. — t',i+2p \-"„-i.jp-, ••• seront toutes né<jati\es, et, par suite,
Or
Uonc S«^2/> est plus grand que S/,^oy,,, et, à cause de la suite d'inégalités (i), plus grand que S„^|. Ainsi donc une somme quelconque comprise dans la suite S„^2, S,/+^, 5«+(j est plus grande que S«^, ; il en résulte (|ue ces sommes, allant constamment en décroissant et restant supérieures à S„^i, (|ui est (i\e, ont une limite S. Or on a
Faisons croître /y intléiinuncnl ; le premier jiicuiLre de cette égalité a pour limite S, car au^-2p+\ ^ pour limite zéro; donc S„^2p+\ a pour limite S également; donc, de quelque manière que croisse l'entier w^, S„i a une limite, ce qui revient à dire ([ue la série proposée est convergente.
CoioLlaire. — On \oit que, la valeur de la série étant comprise entre S,, et S„^i, l'erreur commise en prenant S pour \aleur de la série est moindre en \aleiir absolue qu<;
1 nÉOKÈME IIJ. — Quand une série à termes positifs <i ses termes respeetivemeiit plus petits que ceux cV une autre série également à termes positifs, et de plus convergente, la première série est aussi convergente.
Soient, en eflet,
( I ) s =^ Uq — Ui — U-2 -^ . ■ . -T- u,i-- . . .
la série convergente donnée (on représente ordinairement une série convergente en séparant la somme d'un certain
l(') CIIAIMTRK II.
nt)inl)re do termes ilc su valeur par le siyne := el en snppriinanl le mot Uni) et
Taiilie sérii^ Soient s„ la somme des n premiers termes de la série (i), /« la somme des ii j)remiers de la série (2); comme l'o < ''0? ^'i < '/i <'// < ifin on a évidemmenl
'il -^ ^n »
donc, a fortiori,
ta < S.
Or, n croissant, tn croît, mais t,i reste constamment inférieur à .v; donc, en vertu d'un principe énoncé page 10, t,, a une limite; donc la série (2) est convergente. c. q. f. d.
Tutouii.ME 1\ . — Une série à ternies positifs et négatifs est convergente lorsque la série des valeurs absolues de ses termes est convergente.
Eu efTel, considérons à part les séries des termes positifs et des termes négatifs pris dans l'ordre dans lequel ils se succèdent dans la série proposée.
Soient ( I ) a^ -~ a^ — a-i ~r . . . -^ ai ~- . . .
la série des termes positifs et
(2) h^ — hy-~ ... ~hu-\- ■ ■■
celle des termes négatifs pris chacun en valeur absolue.
Soient Xi la somme des- i premiers termes de la série (i), Jk^^ somme des /.- premiers termes de la série (2), et s,i la somme des n premiers termes de la série proposée. Nous pouvons toujours supposer que «o, a^, . . . .^cii soient les termes positifs de s,i, et 60, bi, . . . , b^ les termes négatifs; alors on a, en appelant s\^ la somme des n premiers termes de la série proposée rendus positif»,
(3) s„=Xi—y,.,
( 4 ) Sn= Xi —yi, .
THÉORIE GÉNÉRALE DES SÉRIES. Ij
L'éfjualion (3) mon Ire que a'^^ est plus yraiid que X/ct quc^'^. ilonc, (f fortiori, la liiiille de s\^, qui par livpolliùse existe, est supérieure à Xi el à vj^. Or Xi etjA- sont des nombres croissant avec / et Â", mais constamment inférieurs à la limite de Sn\ donc ils ont une limite chacun, donc les séries (i) et (2) sont convergentes. L'équation (4) montre que s,i a une limite égale à la dili'érence des limites de .r, et j';;-, c'est-à-dire que la série proposée est con\ergente et a une valeur égale à la dillcrence des Naleurs des séries de ses termes posilils et de ses termes négatifs.
TnÉoui^ME \ . — Quand une série ne perd pas sa. convergence lorsque l'on rend tous ses ternies positifs, on peut, sans altérer sa valeur, intei^'ertir l'ordre de ses ternies.
En elTet, considérons d'abord une série convergente à termes positifs :
(1) s = Uq— Ul-^ U-x-v- . . . -r- U„l-T- . . . .
Intervertissons 1 ordre de ses termes, et soit
(a) fo-r- t^i— . . . ~ t'«
la nouvelle série obtenue après ce changement. Soient s\^ la somme des n premiers termes de la série (2), Sm la somme des ni premiers termes de la série proposée; on pourra toujours choisir ni de telle sorte que tous les termes de s'^ soient contenus dans les m [)remiers termes de la série ( i ). On aura
alors
s'u'Lsm et s'n<^\\ms„i ou < *.
Nous voyons par là :
i" Que la série (2) est convergente, puisque i-)^ ci^oît avec n sans dépasser s;
2° Que la valeur 5'= limi'^^ de la série (2) ne saurait surpasser s. Or on démontrerait de la même manière que la valeurs de la série (i) ne saurait surpasser i'; donc on doit avoir-
donc la série (1) n*a pas changé de valeur. c. q. f. d.
i8 ciivi'iTin: II.
Supposons aclucllcmcnl la série
(l) s = Uo-r- Ui-- Uî^ . .. -^ II.:— ..
à termes quelconques.
Soient
(3) ao -+-«1 -f- a2 -f- . .. -!-a,--T- . . .
la série de ses termes positifs jnis dans le même ordre que dans la série ( i ),
(4) bo — bi-\-...-^b/,-}-...
la série de ses termes négatifs égalejnenl pris dans Tordre où ils se trouvent dans l'équation ( i ). Supjiosons que la série (i) conserve sa convergence quand on rend ses termes positifs. Les séries (3) et (4) sont convergentes, cl, si jc elr désignent les valeurs respectives de ces séries, on a
Cela pose, changeons Tordre des termes de la sjrie (i); la série de ses termes positifs sera encore la série (3), à Tordre des termes près. Or cette série est à termes positifs; donc elle conserve sa valeur. Même observation pour la série des termes négatifs et pour la série des valeurs absolues des termes de la série (i V 11 en résulte, d'après le théorème I\ , que la valeur de la série ( i ) transformée est encore x — j' ; donc la série (i) ne change pas de valeur quand oij change Tordre de ses termes. c. q. r. u.
Remarque. — Toute cette démonstration repose sur Tégalité (5); donc, lorsque x ou )• n'existeront pas, c'est-à-dire quand, dans la série proposée, les termes positifs et négatifs ne formeront pas des séries convergentes, la démonstration précédente tombera en défaut. 11 est facile, du reste, de donner un exemple dans lequel on voit une série changer de valeur (juand on change Tordre de ses termes.
Considérons, par exemple, la série convergente
.L 1 .' ^ -i- i 4- ^1 — L dr.... ' ' ^ 1 VI 0 4 ' 5 * ■ ' /t "^ « -H 1
Remarquons que la série des valeurs absolues de ses lerines esl identi(|ue avec la série liarnionif[ue qui est diveriicntc.
En changeant sinipleuient Tordre des lerines, on a la nouvelle série
2 4-^ tî 8'"'2n — I 4 « — 2 :\n~ '"'
Je dis que la valeur de cette série esl la moitié de la valeur de la série (i). En efTet, soit
La valeur de la nouvelle série est la limite dc/(/i) pour /? := x ; or on peut écrire
ou encore
Pour /7 = ce , la quantité entre crochets tend vers la valeur de la série ( i) : ainsi la limite de/(/i) ou la valeur de la série (2) est la moitié de la valeur de la série (i); il est donc bien prouvé que l'on n'a pas toujours le droit de changer l'ordre des termes d'une série.
Jusqu'ici nous n'avons guère parlé que de séries à termes réels; mais on l'ait un fréquent usage en Analyse de séries à termes imaginaires.
Une série à termes imaginaires peut se mettre sous la forme
Celle série sera convergente si les deux séries (2) Uti -r- Ui -{- U2 -i- ■ ■ . — u„ -;-...,
(3 ) Vo— Vl -■- Vi -7- . . . — Va — . . . ,
formées des parties réelles et des coefficients de ^ — i dans tous ses termes, sont toutes deux convergentes.
20 t: n V r n II E 1 1 .
En cfTet, soient 5„ la somnu^ des n premiers termes de la série ( i ), a-/, elT,, les sommes des n premiers termes des séries (a) et (3); on a
Sa = <^n -^'n /— ^•
En j-iassanl aux limites et en désignant par 7 et t les valeurs des séries (2) et (4), on voit (]ue
donc la série (i) est convergente. c. q. r. n.
Rf.marque. — Il est clair que, si l'une des séries (2) ou (3) eût été divergente, la série ( i ) l'eût été pareillement.
ThéokLmeM. — Dans une série à termes imaginaires, si la série des modules des différents termes est com'eri^ente, cette série est elle-même convergente et l'on peut, .'■.ans altérer sa convergence, intervertir V ordre des termes.
En effet, considérons la série (i). Les séries de ses termes réels et des coefficients de \ — 1 sont convergentes indépendamment des signes de leurs termes, car ceux-ci sont i-especlivcment plus petits que ceux de la série des modules qui est à termes positifs. On peut donc changer l'ordre des termes (le ces séries sans en altérer la valeur, ce qui revient à dire (jue Ion peut changer l'ordre des termes de la série proposée elle-même. c. q. f. d.
Une série qui ne perd pas sa convergence quand on réduit -es termes à leurs modules, et dont on peut altérer l'ordre lies termes sans changer sa valeur, est dite absolument convergente.
J III. — Régies de convergence.
On connaît un grand nombre de règles permettant de leconnaître si une série donnée est convergente ; mais un petit nombre de caractères suffisent dans la [ilupart des cas, et nous allons les faire connaître.
Théorème I. — Toute progression géométrique diMiL lu raison est un nombre réelou imaginaire de module moindre que I est une série convergente.
En cfTcl, une telle progression peut se mettre sous la forme
( I ) a - a.r — ax- — ... - - a j"" ....
Or, cpiel que soit x^ la somme des n — i premiers termes est
égale à
Si le module de x est moindre que i, j:""*"' tend vers zéro, et la somme des n premiers termes tend vers la limite finie
pour/? = GO . La série (i) est donc convergente, ce qu'il
fallait démontrer, et l'on a
^= a -r- ax — ax- -;-... -f- ax" --
Si Ton remplace x par ^ en supposant mod - <^ i , on a
et, en faisant a = -■>
I ;: za a- a*
cette formule, qui nous sera utile plus tard, a lieu pour toutes les valeurs de z et de a, telles que rtiodc <r mod a.
TuÉontME II. — Si, dans une série à termes positifs ( I ) uy~ u-i-'. . . — U;, -i- u„+^ ---...,
le rapport -^^ d^ un terme au précédent tend vers une
limite inférieure à l'unité ou reste constamment inférieur à un nombre 'xflxe moindre que i, cette série est com'ergente.
Observons tout d'abord que, la limite de -^ étantmoindrc
(|iie ruiilli', -— Iniiin. |)()ur dos valeurs sulfisanimciil j;ranc]es de II, par dillérerde sa liniile de moins que celle liniile ne difTère de limité et, par siiile, ""^' finira par rcsler moindre
lin
qu'un nombre a fixe, moindre lui-même que l'unité; ainsi nous n'avons besoin de démontrer le lliéorcme (pic pour le cas où Ton a, pour ti suffisamment j^rand,
Un
de là on lire
lln+\ < 2e<„, et de même
lln+1' ^ ïW/i+1, lln+3 , ^"«+2; • ■ • •
On lire de ces formules
La série considérée a donc ses termes respeclivemcnl moindres que les termes de la progression géomélrique
a Un -f- ^2 Un -f- a' Un --...,
dont la raison a est moindre que i et qui, par suite, est convergente; la série proposée elle-même est donc convergente.
Corollaire. — Si dans une série à termes quelconques la limite du rapport d'un terme au précédent a un module moindre que V unité, ou si le rapport d'un terme au précédent conserve un module moindre quun nomO/e y.Jixe moindre que i , cette série est convergente.
Car la série ("orméc des modules de ses termes est convergente, en vertu du théorème précédent (p. 21).
Remarqi e I. — Si le rapport — ^^ tendait ve/s une limite
Un
supérieure à l'unité ou restait, à partir d'un certain terme, supérieur à l'unité, la série serait divergente , car les /.ermes iraient en augmentant.
T il 1 1) u 1 1: (i f- N i; it \ 1. 1: u !•: s s k u 1 1; s . 23
UrMARQur, II. — Si la liniilc —^^' rlail l'iiiiilt;, —^^' n'étant
pas constamment snprriciir à i, on ne pourrait [)liis rien affirmor relativemcnlàla convergence de la série, et ilfaiidrait avoir recours à d'autres caractères pour dt'cider si la série proposée est convergente ou divergente.
Remarque III. — Il est facile d'évaluer une limite de l'erreur commise quand, pour calculer la valeur de la série (i), on se hornc à faire la somme des /^ premiers termes, I^ effet, cette erreur est
or i/,i+\ <C "•'■ff/i, f'ii-2<C '^■' ff/i d'après ce que l'on a vu :
donc l'erreur est moindre que la valeur de la progression
a u,i -- a2 11,1 -^ 2^ Un -- . . • OU que
Théorème III. — Si Von a deux séries à termes positifs, l'une convergente
(i) s = cio -^ ai -^ a.2 -^ . . . - a„ -r- a„+i -^ . . .
et l'autre
(■>.) fjt)~ bi — . . . -.-b,t — b„^i -•-
telle que le rapport cV un terme précédent -j^ soit constamment inférieur au rapport correspondant — ^^ dans la première, cette dernière est convergente.
En effet, la série (i) étant convergente, la suivante le sera
aussi ( ' ) :
, bo bo b(, ^0
^0 "i «1-1 a^--- . . . a,i ". (iii-\-i -;-....
«J «il «0 «0
(') Si l'on (•[)rouvait quelques doutes à cet éganl, ils seraient levés par le théorème II du paragraidic suivant, llicorème (jui pourrait trouver sa place
24 CIIAPITUK IT.
Celle série peul s't'crire ainsi :
Ci\ h b — -^ b — — • -^b ^" ""~^ ... — •
Mais la série (2) peut se mettre sous la l'orme
bi . bi bi b„ b„^j bx , bo-^Oo-j bo-, -. ... - - b„ - ... — -!
or celle série a, en vertu de notre hypothèse, ses termes respectivement moindres que ceux de la série (3), qui est convergente; donc la série (2) est elle-même convergente.
Il est facile de déduire de là le théorème précédenl.
Ïhéouème IV. — La série
est convergente ou divergente selon que kest plus grand ou plus petit que i .
En effet, supposons d'abord A' plus grand que i ; la série précédente peut s'écrire, en groupant les termes (ce qui n'altère pas la convergence ou la divergence de la série, puisqu'elle a ses termes positifs), de la manière suivante :
Si l'on suppose /<\> i, le terme général de la nouvelle série est moindre que -^.répété 1" fois, c'est-à-dire moindre que — -, — -: les termes de cette série sont donc moindres que ceux de la progression géométrique décroissante
elle est par conséquent convergente.
THÉORIE GÉNÉRALE DES SÉRIES. 2.j
Si au contraire /«• << i, alors la série (2) a ses Icrines plus grands respectivement que ceux de la série harmonique; elle est donc divergente dans ce cas.
Dans la série (i), le rapport d'un terme au précédent est de la forme
si A" est plus grand ([ue i, cette quantité est évidemment
moindre que y On peut donc énoncer le théorème sui-
vaut (') :
THKORÈME^ . — Si dans une série le rapport d'un terme au précédent, ayant pour limite V unité, peut se mettre
sous la forme — —^i et si ny. tend vers une limite k plus
grande que i, cette série sera convergente.
Les règles de convergence que nous venons de donner suffîsentdanslaplupartdescas ; nous donnerons dans les exercices quelques règles nouvelles, en laissant au lecteur le soin de les démontrer.
Applications. — 1° Cherchons si la série
est convergente. On a ici, pour l'expression du rapport d'un terme au précédent,
(n -4-1)^ — 1 n"- -" I ( yi -+- I )2 -^ I n- — I
pour /i = ce , la limite de cette expression est x. Donc la série est convergente si mod^c << i , divergente si modj? > i ; enfin, si modj: = i, elle est encore divergente, parce que les
(') Raabe et Duhamel l'ont trouve à peu près en même temps.
