III. — Digression sur les déterminants gauches

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M. Cayley a donné le nom de déterminants gauches au\ déterminants de la l'orme

dans lesquels on a aij= — aji, an = o. Les déterminants gauches jouissent d'une propriété curieuse :

Tout déterminant gauche de degré impair est nul, cl tout déterminant gauche de degré pair est un carré parfcnt.

Pour le démontrer, nous nous appuierons sur la Ibrmule

r)ft

da„,ida,i-i^,i-i

àcin,it àa,i— 1^,1-1 da,i-\ji da„^,i-i

obtenue ne faisant i^:^j^=n elh:= 1= n — ■ i dans la formule («) du paragraphe précédent; si nous admettons que le théorème soit démontré pour des déterminants de degré moindre que /?, il est facile alors de voir qu'il a lieu pour les

) SI n est pair.

déterminants d'ordre n. En effet

(Ja„„âan-i,n-i est un déterminant gauche d'ordre pair qui est un carré,

est un déterminant gauche d'ordre impair qui est nul; alors, en observant que

da,i-

i,it

la formule (i) donne

donc (:) doit être un carré parfait.

I)f;Ti:UMlNANTS FONCTIONNELS ET FONCTIONS IMPLICITES. 1 63

Si le ilélcrininaiil gauclie esl de degré impair, il conlicnl les Icrines ^/,a, (i>';i^ • • • •> ('ul ^^ (loa^ (f^2f • • • ' ff'/./n ^^i se délriiiscnt parce ([u'ils sont égaux et de signes contraires s'ils ne sont pas nuls.

Il reste donc à vérifier que, pour n = 2, le déterminant (-) est un carré parfait, parce qu'il le sera encore pour/« = 4»

/l := 6, .... Or on a, pour /l rrr i ,

pour n = 2,

pour /? =^ 3,

pour

et air

isi de suite

Remarque. — Un déterminant gauche de degré pair et dont tous les éléments situés d'un même coté de la diagonale sont égaux à l'unité est égal à i .

La racine carrée d'un déterminant gauche de degré pair est ce que l'on a appelé un pfaffien.