IV. — Déterminant d'un système de fonctions

Soient u^, 11.2, ..., «« des fonctions des n variables , . . . , x„; on appelle déterminant de ce système de

()Ul

Ùlll

<)Ut

ÔXi

âx-2

OXn

dU2

diio

du.

dxi

dx.

dXn

àu,i

OUn

du,,

dx.

dx.2

dXn

164 cii.vrrTRE vu.

fonctions [ou jacobicn) le tlctcrnnnanl

dont les t'iéments sont leurs dérivées, et on le représente par

la notation

dont rutililé ne tardera pas à être mise en lumière.

Quand ^/,, //-^ H/i sont les dérivées d'une même

l'onction it, le déterminant fonctionnel porte le nom de hessien de la fonction 11, et on le représente souvent au nioven de la notation II.//.

Thf.oiu:\ie de M. Bertrand. — Le dêiernùiKinl (T un système de fonctions //|, //o, . . ., 11,1 pcir rapport aux variables Xi, x-iy . . . , Xn est le rapport du déterminant du système d'accroissements que prennent ces fonctions au déterminant du système correspondant d'acc/'oissements infiniment petits des variables.

En sorte que d (X) , . . . , x,i) peut être considéré comme un déterminant de /i systèmes d'accroissements arhitrairesdonnés aux variables, et alors d (uf, .... u„) est, aux termes d'ordre supérieur près, le déterniinant du système d'accroissements correspondants des fonctions //,, . . . , u„.

Pour démontrer ce théorème, désignons par f/|.r,. d^x■2■, ■.-, d\Xn un premier système d'accroissements des variables; par d.,Xi, d,x.,, . . ..d-iXii un second système, etc.; multiplions entre eux les déterminants (i) et

f/l Xi

. . f/i or„

d, Xi

■ d, Xn

dnXx

da X, .

rclt'iiK'iil a|)|);irleiianL à la /''"" lij^nc et à la y"""" colonne du pruthiit sera

()ui . Ou,- . , du,- ,

c'esl-à-dire (ljUi\ le produil est donc le délerminanl du système des difr<'renlielles ou des accroissements des Tondions; d'où l'on conclut le théorème énoncé.

Le théorème de M. Bcrlrand a un ij;rand nombre de corollaires importants qui ont été démontrés directement par .Jacobi ou par Caucliy. Mais, en les déduisant du théorème de M. Bertrand, on développe plus clairement les analogies des déterminants fonctionnels avec les dérivées. Voici, par exemple, comment il permet de généraliser le théorème des fonctions de fonctions.

Soient u^, i/-,, ■ ■• fin des fonctions de 7',, l'o, . . .,j)'«, et Vi,i'2, . . ..Vu des l'onclions de x^^ x^^ . . ., Xn\ on pourra considérer w, , //^j • • • i ''« comme fonctions composées de x ^ , x-i, . . . , x,i, et il est clair que l'on aura

àiux, Uj u„) f)( ui, Uj, u„) 0(yi,y2, •• -,7") .

d{xi,x,,...,x„) ~~ 0(ri,r.,, . ...y,,) fJ(Xi,x2, x,,)'

en particulier, si Ion a «) = x^. 1(2 = Xi, .... on voit que

d(xi,T.2, .. .,xn) à(y\,.r-2, — Vu) ^ j <^C7i»72, •••.7«) 0{xi,3r,, ...,Xn) ~ '

théorème analogue à celui qui est compris dans la formule

dx dy Ty dx " ''

et qui devient évident par l'emploi de la notation dlflerentielle.

On peut également donner une généralisation du théorème des fonctions composées ou même de la différentielle totale.

C.onsidérons, en effet, n fonctions ?/i, u<>, . . ., u,i de m variables indépendantes j"j, Xo, r,„, le nombre n des fonc-

i66 en API T RE vil.

lions étant suppose moindre que le nombre ni des vaiMables; donnons aux. variables n systèmes d'accroissements infiniment petits. Soient <:/(j:-,,Xo, — :r„), d{x.>iJC2, — ■r„j^.\ ), ... les déterminants que l'on peut former avec ces systèmes d'accroissements; soit d(ui, n^, • • ., ««) le déterminant du système d'accroissements que prennent les fonctions dans ces circonstances. Comme l'on a

, du,- j dui , du,- ,

aui = -7 — axi -, axo — . . . -^ -r — dx,,,

quels que soient r/X) ^dx>, ...,dx,t, la quantité r/(?/|, 1/2, ...,u„) sera une somme de produits de déterminants formés avec les

accroissements dx et avec les dérivées — — , en sorte que

dx/ 1

le signe 7 se rapportant aux indices a, |îi, . . . , A.

Si, en particulier, x,, jr^, . . . ,x„i étaient des fonctions de /i variables /|, /o, . . . , t,i, on aurait

d{ui,U2, . . . ,Un) "^ d(«i, M2, u„) d{x^ T\)

d(ti, t.2, ...,t,i) ~ ZdO{x^,xi^, . .. ,x\) d[t,,t2, ...,(„)'

théorème analogue à celui des fonctions composées.

Remarque. — Si l'on avait supposé m<in, on aurait eu d(u, , «o, . . . , M„) = o ; nous retrouverons ce résultat sous une autre forme : il exprime que, si les fonctions ?/|. .... ii„ de ff^to,---, t,i peuvent être exprimées au moven de m «< n variables Xi, ...,Xm, leur déterminant est nul. En d'autres termes, si les fonctions «,, . . . ,u,i ne sont pas indépendantes, c'est-à-dire peuvent s'exprimer les unes en fonction des autres, leur déterminant sera nul.

V. — Reconnaître si des fonctions sont indépendantes les unes des autres.

Quand deux ronclions de plusieurs variables lit et «o ont leurs dérivées proportionnelles, ou, ce qui revient au même, satisfont à une relation de la l'orme

dut = Adu-2,

elles dépendent Tune de l'autre; en d'autres termes, a, peut s'exprimer en fonction de 112 seul; et en effet, dui et du^ sont nuls en même temps : Ut et u-2 sont donc constants en même temps, et par suite sont fonctions 1 un de l'autre; la réciproque est évidente.

Si l'on considère maintenant un nombre quelconque de fonctions Ut, u,, • • •- Un, pour que ces fonctions ne soient pas distinctes^ c'est-à-dire pour qu'un certain nombre d'entre elles soient fonctions des autres, il faut et il suffit qu'il existe des identités de la forme

A'i dui — A2 du2 -T- . . . — /t/i dun = o.

Il est bien clair, en effet, i" que toute relation

'^{ui,Uî, u„) = o

différentiée donnera un résultat de cette forme; 2° qu'une relation de celte forme ayant lieu, dut, par exemple, sera nul quand du^- • • • , dun le seront, et par suite «j sera constant quand u-^, • . • , i(,i le seront; en d'autres termes, iti sera fonction de Wo, . . . , Uu-

Plus généralement : La condition nécessaire et su/usante pour quHl existe ni relations entre des fonctions Ut, Un, • • • . Un, c'est qu'il existe ni relations linéaires et homogènes entre les différentielles de ces fonctions.

En effet, s'il existe m relations telles que

F,(hi, «2, Un) = o, ¥i = o, F,„ = o,

l68 CItAPITRE vu.

on aura, cnlrc dii^, (iu^, . . . , l«'s m relalions linéaires et ho-

niOiicncs

-— - dut -. «»> —

-f- - — du,i - o,

dF,„ (Jb',,, à¥,„

- — dui — -- — du.2 -f- . . . -h - —

du,, = o ;

réciproquement, s'il existe ni relations linéaires et homogènes entre du^.du^^ • • ., du,,, telles que

a\dit\-^ «0 dui

a,i du,i — o,

/i dit^ — /o f/»>

. — /,; dun

«1, ...,/,, ...,/„ désignant des quantités quelconques, on

pourra de ces équations tirer du^^ diu, . . . , du,n en fonctions

linéaires et homogènes de du,,,^^, . . . , du,,, et Ton voit que

dui du,,, seront nuls si du„,^i, . . . , du,, le sont; donc

//, ;/„, seronteonstants si ;/,„^(, . . .,?/„ le sont; donc enfin

Uj //,„ seront fonctions de Um+i-, • • ■ • ihi-

Ce raisonnement suppose, bien entendu, les relations homogènes données, telles que l'on puisse en tirer m différentielles en fonction des autres.

On peut encore reconnaître s'il existe des relations entre des fonctions données, au moyen des théorèmes suivants, au Ibnd identiques au précédent :

TnÉoRiiME I. — La condition nécessaire et sufjisante pour qu'entre n fonctions w,, u^, . . . , u,, des variables Xi, .ro, . . . , x,i il existe m relalions distinctes, est que le déterminant

d(u\. Ui,

C){Xi,X2, .. .,T„)

du\

àui

Ôlll

ÔXi

âXy

Ox,i

duî

diu

àui

ÔXi

dX2

Ox,i

dicj,

Oxi

àu„ OXi

Ox„

DfiTERMlNANTS FONCTIONNELS ET FONCTIONS IMPLICITES. 169

soit identiquement nul, ainsi que tous ses mineurs jiisquW ecux de V ordre m — i inclusivement.

\\n efiV'l. si cnlro //,. u-^^ •■•, ii„ il existe m relations, m de ces «[iiantités resteront constantes quand les n — //? autres seront rentlues constantes; donc m des équations

diii = o, du -2 — o, . . ., du,, - o

seront des conséquences des /i — ?n autres; en d'autres termes, ces n équations se réduiront à n — m distinctes; or elles peuvent s'écrire *

,' àifi , àui , util ,

— dxt -f- - — dxo -T- . . .-.- -, — dx,i = o,

'À/'j OXi ' UX,i

Ou-, , diii , ôi(=, ,

/ ^ ; — - dxx -. — ; — ar.> --...-! '- dx,i = o,

(«) \ Oxi ' dXi - (Jxii '

ôi(„ ()u„ , au-,

- — dxi -- ^ — dx=, -•-...-- - — dx,i = o ; 1 dxi ox-, ' ax„

pour qu'elles se réduisent à /? — m distinctes, il faut que le déterminant

r)( Ui, 11-2, .... u„)

Ô{Xi,X.2, . . , X„)

soit nul, ainsi que ses mineurs jusqu'à l'ordre m — i inclusivement. Ainsi, en particulier, s'il n'existe qu'une relation entre les u, on devra avoir D = o seulement.

Réciproquement, si D est nul, ainsi que les mineurs jusqu'à ceux de l'ordre m — i inclusivement, les équations (a) se réduiront à n — m distinctes; en d'autres termes, ni des équations dus --^ o, du^ = o, ... seront des conséquences des autres, et par suite, m — n des quantités u restant constantes, les m autres restent constantes aussi et sont des fonctions de celles-ci. c. q. f. n.

Théorème II. — La condition nécessaire et suffisante pour qu entre m fonctions de n variables, m étant plus petit que n, il existe une relation au moins entre ces fonctions, c'est que tous les déterminants fonctionnels de ces

cil MM TU i: VII.

fonctions par rapport à ni qi(clcon(iiics des variables soient nuls.

Soient, en oflot, m loiicllons //,, u-i, .... //,„ des n ^ • /« variables j",, j"2i • ■ • . -P« î on devra avoir entre les dififérenlielles r///,, r///o, . . . une relation telle que

Al du\ — Ao <^/«2 — . . . -T- A„j du,n ■= o, ou

I Al ^ Ao — •' -f-. . .-r- A,„ , — ) dxi -^ ( A I — -^. . . dxy . . . — o,

\ <U-i ^OX, Ox,nj \ <)X.2 j - '

quels que soient dx^^^dx-^.-, ... : done

duy du=, . du,,,

dui ^ dUi ^ ^ . dii,n ' ÔXn ' ' fJx,i ' ■ • • ■ '" ()j-^^ '

comme A,, Ao, ... ne sont pas tous nuls, il faut que l'on

ait

d(ui, Uo, .... u,„)

quels que soient les indices y., |i, . . . , )w Réciproquement, si toutes ces relations ont lieu, on aura

d{U\, Uii .... 11,11, ^i>i-^-\j 2//î-t-2i • •' ^n)

Cl i^Xi, Xo, • . • 1 -^mi • • • ^n )

'^m+i, • . ..oc/i désignant des constantes; il existera donc une relation entre lit, Uo, . ■ ., Un et des constantes, cest-à-dire entre Uf, 11-2, . • • , Um-

VI, Sur un théorème de Jacobi.

Dans son Mémoire Sar les dé ter nilnanls fonctionnels, déjà cité, Jacobi est parvenu à mettre sous une forme remarquable le déterminant de plusieurs fonctions; cette forme a d'ailleurs

éli'î lUilisro [)ar lui dans une circonstance importantf. \ oiri coniinenl on v parvienl :

Soient u^, ii-, u„ n (onclions des variables Xi,x^, ■••, ^«

indépendanles; imaginons que l'on ait exprimé Us en l'onction de ^1, .ro, . . . , .r„ ; u-i en fonction de ;/,, jTo, x^-, . . . , x,i\ //:, en fonction de Ut,ii2, -^i: • • • . -^/i-, etc. ; enfin ii,i en fonction de Ui,U2, . . ., u,i t,x„; nous représenterons par un d les dérivées prises dans les hypothèses dont nous venons de parler, en réservant le à pour représenter les dérivées prises en regardant x,, X2^ ■ ■ - -, x,t comme seules variables indépendanles.

On a

Oui dui ()Ui duy f)ui dui

Oxi ~ dxi ' ()xi dx^ ' OXn dx,i

et ensuite

(Jxi diii <ixi

()u.> duj dui 0U\

Ox-i dxo ' dui 0x2

• •• étant remplacés par leurs valeurs (i), il

dii-i du\ i)Ui dui dui du\

dui dx-i Oxy dx-2 du Y dxi '

i)iiz du3 du3 dui dii-K f)u2

Ox:i dxi ' du y dxi ' duo Ox^ '

i)ui du, 1 A 'iu'> du=> , I , . ,

or — - = -r— > et de même -— ^ = 7—5 car ces deux dérivées Oxy dxi 0x3 dx-i

sont prises en faisant seulement varier JC3, u^ ne variant pas et par suite n'étant pas fonction de J73 ; on a donc

du-i du^ dui fJuy du^ du3 du\ du^ du^

Oxi dui dxi 0x3 dx3 dui dx3 duo du3

mais,

ôui Oui OXî ' 0x3

vient

duz

fJXi

et ensuite

du 3 duj

Oxi

dui f)Xi

Il résulte de là que le déterminant des dérivées — ^ > ou

â( II,, «2, . . . , ll„)

dii\

csl le produit de deux autres :

(IU\ clUi

du I du .,

(tX II (XJC II

dll^

dxii

c'est-à-dire, en efTecluant,

t)( f/i, f<2! • • • • Un ,

()(j7i,a~2, ..., x,i) dxi dx^ dx-i

duv^

du%

dui

du.

du..

du.,

dui

dUi

dUy,

dx=,

dxi